Sistemi linearmente dipendenti/indipendenti
Sia $S={u_1, u_2, ..., u_k}$ un sistema di vettori. Valgono queste proposizioni:
1. Ogni vettore di $S$ dipende linearmente da $S$.
2. Il sistema $S$ è linearmente dipendente se e solo se almeno un suo vettore dipende dai rimanenti.
Vorrei capire se ho interpretato bene queste due proposizioni. Se $S$ è linearmente dipendente allora un vettore che dipende da $S$ lo posso scrivere tramite più combinazioni lineari di vettori sempre appartenenti ad $S$ (quindi attribuendo più valori ad ogni singolo scalare).
Se $S$ è linearmente indipendente, allora un vettore che dipende da $S$ lo posso scrivere come combinazione lineare di vettori sempre appartenenti ad $S$ in un unico modo (quindi attribuendo un solo valore ad ogni singolo scalare).
è corretto quello che ho scritto?
Edito il post facendo un ragionamento.
Se un vettore di $S$ dipende dai rimanenti (poniamo che questo vettore sia $u_i$), allora posso scrivere $h_1u_1 + h_2u_2 + ... + h_ku_k = u_i $. Se sposto $u_i$ a sinistra, ottengo un sistema linearmente dipendente, perché sono sicuro che almeno il coefficiente di $-u_i$ non sia nullo.
Però per la prima proposizione ogni vettore di $S$ dipende linearmente da $S$; quindi posso scrivere ancora, considerando sempre $u_i$, $u_i = h_1u_1 + h_2u_2 + ... + h_ku_k$. Ora, se sposto $u_i$ ottengo $h_1u_1 + h_2u_2 + ... + h_ku_k +(-u_i) = 0$. Quindi sono nella stessa situazione di prima, e concluderei che il sistema sia linearmente dipendente.
Io però sono partito da una proposizione valida sia per i sistemi linearmente dipendenti che per i sistemi linearmente indipendenti.
Cosa sto sbagliando?
1. Ogni vettore di $S$ dipende linearmente da $S$.
2. Il sistema $S$ è linearmente dipendente se e solo se almeno un suo vettore dipende dai rimanenti.
Vorrei capire se ho interpretato bene queste due proposizioni. Se $S$ è linearmente dipendente allora un vettore che dipende da $S$ lo posso scrivere tramite più combinazioni lineari di vettori sempre appartenenti ad $S$ (quindi attribuendo più valori ad ogni singolo scalare).
Se $S$ è linearmente indipendente, allora un vettore che dipende da $S$ lo posso scrivere come combinazione lineare di vettori sempre appartenenti ad $S$ in un unico modo (quindi attribuendo un solo valore ad ogni singolo scalare).
è corretto quello che ho scritto?
Edito il post facendo un ragionamento.
Se un vettore di $S$ dipende dai rimanenti (poniamo che questo vettore sia $u_i$), allora posso scrivere $h_1u_1 + h_2u_2 + ... + h_ku_k = u_i $. Se sposto $u_i$ a sinistra, ottengo un sistema linearmente dipendente, perché sono sicuro che almeno il coefficiente di $-u_i$ non sia nullo.
Però per la prima proposizione ogni vettore di $S$ dipende linearmente da $S$; quindi posso scrivere ancora, considerando sempre $u_i$, $u_i = h_1u_1 + h_2u_2 + ... + h_ku_k$. Ora, se sposto $u_i$ ottengo $h_1u_1 + h_2u_2 + ... + h_ku_k +(-u_i) = 0$. Quindi sono nella stessa situazione di prima, e concluderei che il sistema sia linearmente dipendente.
Io però sono partito da una proposizione valida sia per i sistemi linearmente dipendenti che per i sistemi linearmente indipendenti.
Cosa sto sbagliando?
Risposte
Per evitare che il messaggio iniziale venga troppo lungo, scrivo qui.
In effetti non ho considerato che $u_i$ lo posso scrivere in questo modo $u_i= 0u_1 + 0u_2 + ... + 1u_i + 0u_(i+1) + ... + 0u_k$.
Un sistema di questo tipo sarebbe linearmente indipendente, perché se sposto $u_i$ ottengo $ 0 = 0u_1 + 0u_2 + ... + 0u_k$, dove tutti gli scalari sono appunto nulli.
Questo quindi rafforza la mia tesi secondo cui se $S$ è linearmente indipendente, allora un vettore che dipende da $S$ lo posso scrivere come combinazione lineare di vettori sempre appartenenti ad $S$ in un unico modo.
In effetti non ho considerato che $u_i$ lo posso scrivere in questo modo $u_i= 0u_1 + 0u_2 + ... + 1u_i + 0u_(i+1) + ... + 0u_k$.
Un sistema di questo tipo sarebbe linearmente indipendente, perché se sposto $u_i$ ottengo $ 0 = 0u_1 + 0u_2 + ... + 0u_k$, dove tutti gli scalari sono appunto nulli.
Questo quindi rafforza la mia tesi secondo cui se $S$ è linearmente indipendente, allora un vettore che dipende da $S$ lo posso scrivere come combinazione lineare di vettori sempre appartenenti ad $S$ in un unico modo.
Sia $ S={u_1, u_2, ..., u_k} $ un sistema di vettori. Valgono queste proposizioni:
1. Ogni vettore di $ S $ dipende linearmente da $ S $.
$u_i=0u_1+0u_2+...+0u_(i-1)+1u_i+0u_(i+1)+...+0u_k$
Vuol dire che ogni vettore di $S$ è combinazione lineare dei vettori di $S$. Non è bisogna fare nessuna ipotesi dul sistema di vettori $S$, che sia un sistema linearmente dipendente o linearmente indipendente poco interessa!
2. Il sistema $S$ è linearmente dipendente se e solo se almeno un suo vettore dipende dai rimanenti.
$rArr$
$alpha_1u_1+alpha_2u_2+.....+alpha_iu_i+.....+alpha_ku_k=0$, poichè per ipotesi il sistema è linearmente dipendente vuol dire che esiste uno scalare non nullo nella combinazione precedente. Supponiamo che sia $alpha_i$ e dunque:
$u_i=alpha_1alpha_i^-1u_1+alpha_2alpha_i^-1u_2+.....+alpha_(i-1)alpha_i^-1u_(i-1)+alpha_(i+1)alpha_i^-1u_(i+1)+.....+alpha_kalpha_i^-1u_k$ e quindi la tesi perchè $u_i$ dipende dai rimanenti.
$lArr$
Supponiamo che sia $u_i$ a dipendere dai rimanenti,
$u_i=alpha_1u_1+alpha_2u_2+.....+alpha_(i-1)u_(i-1)+alpha_(i+1)u_(i+1)+.....+alpha_ku_k$, dunque possiamo scrivere:
$alpha_1u_1+alpha_2u_2+.....+alpha_(i-1)u_(i-1)+1u_i+alpha_(i+1)u_(i+1)+.....+alpha_ku_k=0$
e quindi la tesi in quanto il sistema è linearmente dipendente in quanto almeno il coefficiente di $u_i$ è non nullo!
1. Ogni vettore di $ S $ dipende linearmente da $ S $.
$u_i=0u_1+0u_2+...+0u_(i-1)+1u_i+0u_(i+1)+...+0u_k$
Vuol dire che ogni vettore di $S$ è combinazione lineare dei vettori di $S$. Non è bisogna fare nessuna ipotesi dul sistema di vettori $S$, che sia un sistema linearmente dipendente o linearmente indipendente poco interessa!
2. Il sistema $S$ è linearmente dipendente se e solo se almeno un suo vettore dipende dai rimanenti.
$rArr$
$alpha_1u_1+alpha_2u_2+.....+alpha_iu_i+.....+alpha_ku_k=0$, poichè per ipotesi il sistema è linearmente dipendente vuol dire che esiste uno scalare non nullo nella combinazione precedente. Supponiamo che sia $alpha_i$ e dunque:
$u_i=alpha_1alpha_i^-1u_1+alpha_2alpha_i^-1u_2+.....+alpha_(i-1)alpha_i^-1u_(i-1)+alpha_(i+1)alpha_i^-1u_(i+1)+.....+alpha_kalpha_i^-1u_k$ e quindi la tesi perchè $u_i$ dipende dai rimanenti.
$lArr$
Supponiamo che sia $u_i$ a dipendere dai rimanenti,
$u_i=alpha_1u_1+alpha_2u_2+.....+alpha_(i-1)u_(i-1)+alpha_(i+1)u_(i+1)+.....+alpha_ku_k$, dunque possiamo scrivere:
$alpha_1u_1+alpha_2u_2+.....+alpha_(i-1)u_(i-1)+1u_i+alpha_(i+1)u_(i+1)+.....+alpha_ku_k=0$
e quindi la tesi in quanto il sistema è linearmente dipendente in quanto almeno il coefficiente di $u_i$ è non nullo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo