Sistemi lineari e logaritmo di Gauss
Premetto col dire che ho letto più volte l'articolo sulla risoluzione di sistemi lineari ma ancora non mi sono chiare alcune cose.
Oggi abbiamo finito in parte i sistemi lineari ma io ancora non riesco negli esercizi.
Tipo
$ { ( 3x-y+6z=1 ),( 6x+3y+10z=3 ):} $
Da qui so che devo calcolare il rango della matrice e della matrice completa.
Rango A =2 rango A|B= 2. Siccome sono uguali posso andare avanti
Da quello che ci ha detto il professore le soluzioni I questo caso sarebbero $ oo^(3-2) $
Da qui non mi sono chiare cosa significhi che le soluzioni sono infinite. Non mi è chiaro bene il concetto di rango perché da quello che ho capito il rango ci dice quante linee o colonne indipendenti noi abbiamo
Oggi abbiamo finito in parte i sistemi lineari ma io ancora non riesco negli esercizi.
Tipo
$ { ( 3x-y+6z=1 ),( 6x+3y+10z=3 ):} $
Da qui so che devo calcolare il rango della matrice e della matrice completa.
Rango A =2 rango A|B= 2. Siccome sono uguali posso andare avanti
Da quello che ci ha detto il professore le soluzioni I questo caso sarebbero $ oo^(3-2) $
Da qui non mi sono chiare cosa significhi che le soluzioni sono infinite. Non mi è chiaro bene il concetto di rango perché da quello che ho capito il rango ci dice quante linee o colonne indipendenti noi abbiamo
Risposte
logaritmo di Gauss??? 
Si vabbè. * eliminazione di gauss. Intendo il metodo a gradini
Un sistema lineare ha tre "tipi" di soluzione:
- nessuna soluzione
- unica soluzione
- infinite soluzioni (che non significa "qualsiasi" soluzione)
Dato che nel tuo caso il rango delle due matrici è uguale allora esiste soluzione: una sola o infinite.
Appurato questo, siccome le incognite sono più delle equazioni sappiamo già che le soluzioni sono infinite.
In una matrice $m xx n$, detto $r$ il rango vale questa $r<=min(m,n)$.
Inoltre se il sistema ha soluzione (unica o infinite) se è $r=n$ la soluzione è unica altrimenti se $r
Cordialmente, Alex
- nessuna soluzione
- unica soluzione
- infinite soluzioni (che non significa "qualsiasi" soluzione)
Dato che nel tuo caso il rango delle due matrici è uguale allora esiste soluzione: una sola o infinite.
Appurato questo, siccome le incognite sono più delle equazioni sappiamo già che le soluzioni sono infinite.
In una matrice $m xx n$, detto $r$ il rango vale questa $r<=min(m,n)$.
Inoltre se il sistema ha soluzione (unica o infinite) se è $r=n$ la soluzione è unica altrimenti se $r
Cordialmente, Alex
E come posso arrivare alla soluzione. Avevo pensato di imporre z=k
Ciao 
Anche io sono nuovo della materia ( ora sto iniziando a studiarla ) ma provo ad aiutarti, quindi occhio che potrei dire fesserie
Tanto per iniziare il teorema che dice
è quello di Rouchè-Capelli
Quella di Gauss è l'eliminazione.Il ragionamento sul "perchè funziona" è abbastanza semplice, basta che dai un'occhiata alla dimostrazione.Per quel che riguarda che vuol dire infinite soluzioni beh... appunto che sono infinite
Ad esempio, essendoci 2 equazioni e 3 incognite, due di loro dipendono dall'altra.
Per dirti, magari le soluzioni sono qualcosa come $(z-3,z+2,z)$ con $z$ libero di variare a tuo piacimento.Magari questo ti aiuta anche a capire perchè "infinite"
Anche io sono nuovo della materia ( ora sto iniziando a studiarla ) ma provo ad aiutarti, quindi occhio che potrei dire fesserie Tanto per iniziare il teorema che dice
Se il rango della matrice $A$ dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa $A|B$ con $B$ matrice dei termini noti, allora il sistema ammette soluzione
è quello di Rouchè-Capelli
Quella di Gauss è l'eliminazione.Il ragionamento sul "perchè funziona" è abbastanza semplice, basta che dai un'occhiata alla dimostrazione.Per quel che riguarda che vuol dire infinite soluzioni beh... appunto che sono infinite
Ad esempio, essendoci 2 equazioni e 3 incognite, due di loro dipendono dall'altra.
Per dirti, magari le soluzioni sono qualcosa come $(z-3,z+2,z)$ con $z$ libero di variare a tuo piacimento.Magari questo ti aiuta anche a capire perchè "infinite"
"axpgn":
In una matrice m×n, detto r il rango vale questa r≤min(m,n).
Inoltre se il sistema ha soluzione (unica o infinite) se è r=n la soluzione è unica altrimenti se r
ridicendo questo in termini del teorema di R-C, hai che le soluzioni sono $oo ^(n-r)$ (dove l'infinito sta ad indicare appunto i parametri liberi)
"hoffman":
E come posso arrivare alla soluzione. Avevo pensato di imporre z=k
Ma che c'entra con quello che hai chiesto e con quello che è stato detto ... $k$ non è mai stata "nominata" ...
Stai facendo una gran confusione ... posta degli esempi concreti e delle domande precise (meglio se una alla volta), altrimenti la confusione aumenta invece di diminuire ...
Cordialmente, Alex
Allora. Andiamo per gradi. Ho capito che le soluzioni sono infinito alla 1. Da qui non so come procedere avanti con nessun procedimento ( e qui entra in gioco l'eliminazione di gauss perché il professore ci ha spiegato quel metodo)
ma anche senza Gauss non sai risolvere un sistema di due equazioni?
Non ho mai fatto sistemi di equazioni a tre incognite. Però credo che la sostituzione dovrebbe andare anche se voglio imparare gauss
Questo è il tuo sistema $ { ( 3x-y+6z=1 ),( 6x+3y+10z=3 ):} $
Questa è la matrice completa $((3,-1,6,|,1),(6,3,10,|,3))$
Questa è la matrice ridotta a scalini (completamente) $((1,0,28/15,|,2/5),(0,1,-2/5,|,1/5))$
Queste sono le soluzioni $((x=2/5-28/15z),(y=1/5+2/5z),(z=z))$ con $z in RR$
Questa è la matrice completa $((3,-1,6,|,1),(6,3,10,|,3))$
Questa è la matrice ridotta a scalini (completamente) $((1,0,28/15,|,2/5),(0,1,-2/5,|,1/5))$
Queste sono le soluzioni $((x=2/5-28/15z),(y=1/5+2/5z),(z=z))$ con $z in RR$
Ma come mai z =z
Risali di una riga e rimetti le incognite nella matrice a scalini ... come potrai vedere è da lì che ho ricavato $x$ e $y$ in funzione di $z$ la quale quindi è "libera", non condizionata da niente e può assumere qualunque valore ... ovviamente puoi scegliere anche $x$ o $y$ come variabile libera e ricavarti le altre in funzione di essa ...
Mi devo riguardare qualcosa di teoria perché sinceramente non riesco a farlo. Che poi di teoria sono due cose in croce. Cosa mi manca dal capire una cosa relativamente così facile
se si scrivesse, come credo volessi fare tu: $ { ( x=2/5-28/15k ),( y=1/5+2/5k ),( z=k ):} $ con $k in RR$ la cosa ti è più chiara?
Si , più o meno si. Ma se vi sto stancando c'è tipo qualche app come wolframe che la risolve con i passaggi spiegati?
"hoffman":
Ma se vi sto stancando
ma che stancando. è un forum apposta!
magari c'e anche ma ti serve di capirle queste cose!
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