Sistemi lineari con parametro....esercizio
buona sera a tutti, mi sono trovato difronte a questo ramo della matematica abastanza bello si tratta in fondo di fare solo delle sostituzioni più o meno.....Putroppo è la prima volta che affronto un esercizio del genere l'ho svolto fino dove ho potuto però non avendo il risultato di questo esercizio non so se l'ho fatto bene...
La traccia dell'esercizio dice di risolvere il sistema lineare al variare di $k$ e determinare, qualora sia possibile, l'inversa della matrice incompleta del sistema per $k=2$
${(x+y-kz=k),(x-y+z=k),(x+y+z=k):}$ procedo: ${(x+y-kz-k=0),(x-y+z-k=0),(x+y+z-k=0):}$ adesso metto in matrice e calcolo il rango:
$A=((+1 +1 -k -k),(+1 -1 +1 -k),( +1 +1 +1 -1))$ applico il teorema degli orlati:
$|A|=|(1 +1 -k),(+1 -1 +1),(1+1+1)|=-1+1-(1+1)-k(1-1)=-1-1=-2!=0$ e quindi il $ragA=3$
$|A|=|(1 -k -k),(+1 -k +1),(1 -1 +1)|=k+2k-k(-k-1)=+k+2k+k^2+k=k^2+4k$ quindi il rango dipende da k... e qui mi nasce il primo dubbio quale rango devo considerare???? il primo o il secondo? poi ce ne sono altri di ordine 2 che dipendono anche da $k$....
La traccia dell'esercizio dice di risolvere il sistema lineare al variare di $k$ e determinare, qualora sia possibile, l'inversa della matrice incompleta del sistema per $k=2$
${(x+y-kz=k),(x-y+z=k),(x+y+z=k):}$ procedo: ${(x+y-kz-k=0),(x-y+z-k=0),(x+y+z-k=0):}$ adesso metto in matrice e calcolo il rango:
$A=((+1 +1 -k -k),(+1 -1 +1 -k),( +1 +1 +1 -1))$ applico il teorema degli orlati:
$|A|=|(1 +1 -k),(+1 -1 +1),(1+1+1)|=-1+1-(1+1)-k(1-1)=-1-1=-2!=0$ e quindi il $ragA=3$
$|A|=|(1 -k -k),(+1 -k +1),(1 -1 +1)|=k+2k-k(-k-1)=+k+2k+k^2+k=k^2+4k$ quindi il rango dipende da k... e qui mi nasce il primo dubbio quale rango devo considerare???? il primo o il secondo? poi ce ne sono altri di ordine 2 che dipendono anche da $k$....
Risposte
Occhio che ci sono errori di calcolo.
Il det. della matrice incompleta, chiamiamola $B$, (che è il primo minore di ordine 3 che hai calcolato) è $|B|=-k-2$ e non è uguale a -2 come hai scritto.
Quindi il rango della matrice incompleta dipende da $k$. E' uguale a 3 se $k!=-2$ ed è uguale a 2 se $k=-2$ (perchè il minore formato dalle prime 2 righe e 2 colonne è diverso da 0 in ogni caso).
Cosa puoi dire invece sul rango della matrice completa?
Il det. della matrice incompleta, chiamiamola $B$, (che è il primo minore di ordine 3 che hai calcolato) è $|B|=-k-2$ e non è uguale a -2 come hai scritto.
Quindi il rango della matrice incompleta dipende da $k$. E' uguale a 3 se $k!=-2$ ed è uguale a 2 se $k=-2$ (perchè il minore formato dalle prime 2 righe e 2 colonne è diverso da 0 in ogni caso).
Cosa puoi dire invece sul rango della matrice completa?
così: $|B|=|(1, 1, -k),(1, -1, +1),(1, 1, 1)|=$ $|(-1, 1),(1, 1)|-|(1, 1),(1, 1)|-k|(1, -1),(1, 1)|= (-1-1)-(1-1)-k(1+1)=-2-2k$ non si trova di nuovo stavolta ho seguito bene.....
Calcoli male i determinanti, i prodotti incrociati si fanno a segni alterni:
$ | ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) | = -1*1 - (1*1) = -2 $
$ | ( 1 , 1 ),( 1 , -1 ) | = -1*1 - (1*1) = -2 $
così: $|B|=|(1, 1, -k),(1, -1, +1),(1, 1, 1)|=$ $|(-1, 1),(1, 1)|-|(1, 1),(1, 1)|-k|(1, -1),(1, 1)|= (-1-1)-(1-1)-k(1+1)=-2-2k$ non si trova di nuovo stavolta ho seguito bene.....
si, si errore di calcolo mio. il determinante è $-2-2k$ come hai scritto tu.
in che senso non si trova di nuovo?
ok.......Alxxx28 credo di aver cancellato un messaggio per sbaglio....comunque ora si trova...
dunque come diceva claudiamatica il determinante dipende da k e quindi:
-è diverso da zero se $k=-1$ e il rango della matrice completa è $2rArr EE oo^1$ soluzioni;
-è uguale a zero se $k!=-1$ e il rango della matrice completa è $3 rArr EE !$ una sola souzione... ora come dovrei procedere? non riesco ad andare avanti....
dunque come diceva claudiamatica il determinante dipende da k e quindi:
-è diverso da zero se $k=-1$ e il rango della matrice completa è $2rArr EE oo^1$ soluzioni;
-è uguale a zero se $k!=-1$ e il rango della matrice completa è $3 rArr EE !$ una sola souzione... ora come dovrei procedere? non riesco ad andare avanti....
Se il sistema ammette soluzioni (e quante) dipende anche dal rango della matrice completa.
Per $k=-1$ (se non ho sbagliato i calcoli) la matrice completa è $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 , -1 ) ) $, e ha rango 3 (il minore formato dalle colonne 1,2,4 è uguale a 4).
Ne segue che il sistema è incompatibile.
Per $k!=-1$ stesso ragionamento: prendi la matrice completa e vedi come sono fatti i tre minori di ordine 3, per vedere se il rango della mat. completa è lo stesso di quella incompleta (Teorema di Rouché-Capelli: condizione necessaria e sufficiente per la compatibilità del sistema lineare)
Per $k=-1$ (se non ho sbagliato i calcoli) la matrice completa è $ ( ( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 , -1 ) ) $, e ha rango 3 (il minore formato dalle colonne 1,2,4 è uguale a 4).
Ne segue che il sistema è incompatibile.
Per $k!=-1$ stesso ragionamento: prendi la matrice completa e vedi come sono fatti i tre minori di ordine 3, per vedere se il rango della mat. completa è lo stesso di quella incompleta (Teorema di Rouché-Capelli: condizione necessaria e sufficiente per la compatibilità del sistema lineare)
scusate se posto dopo tanto tempo ma sono stato a letto....
allora per $k!=1$ ho fatto in questo modo:
la matrice completa diventa: $((1, 1, -1, -1),(1, -1, 1, -1),(1, 1, 1, -1))$ poichè ho dato a $k$ valore $1$ e poi vado a calcolare con gli il teorema degli orlati le sottomatrici quadrate 3x3:
$A'=((1, 1, -1),(1, -1, 1),(1, 1, 1))rarr detA'=-4$
$A''=((1, -1, -1),(1, 1, -1),(1, 1, -1))= detA''=0$
la matrice completa ha stesso rango della matrice incompleta per $k!=-1$ e la soluzione del sistema è quella banale $(x,y,z)=(0,0,0)$ però qualcosa non mi convice credo che sia sbagliato, non ho nemmeno il risultato....
allora per $k!=1$ ho fatto in questo modo:
la matrice completa diventa: $((1, 1, -1, -1),(1, -1, 1, -1),(1, 1, 1, -1))$ poichè ho dato a $k$ valore $1$ e poi vado a calcolare con gli il teorema degli orlati le sottomatrici quadrate 3x3:
$A'=((1, 1, -1),(1, -1, 1),(1, 1, 1))rarr detA'=-4$
$A''=((1, -1, -1),(1, 1, -1),(1, 1, -1))= detA''=0$
la matrice completa ha stesso rango della matrice incompleta per $k!=-1$ e la soluzione del sistema è quella banale $(x,y,z)=(0,0,0)$ però qualcosa non mi convice credo che sia sbagliato, non ho nemmeno il risultato....
Stiamo trattando il caso $k!=-1$. Non puoi dargli tu arbitrariamente il valore 1.
Per $k != -1$ la matrice incompleta ha rango 3, e la matrice completa ha rango almeno 3. Poichè è 3x4, allora ha sicuramente rango 3, e il sistema è in ogni caso compatibile con un unica soluzione. Soluzione che non è la soluzione banale, visto che il sistema non è omogeneo.
Per $k != -1$ la matrice incompleta ha rango 3, e la matrice completa ha rango almeno 3. Poichè è 3x4, allora ha sicuramente rango 3, e il sistema è in ogni caso compatibile con un unica soluzione. Soluzione che non è la soluzione banale, visto che il sistema non è omogeneo.
ah già ho capito ma la soluzione come la posso trovare io sto provando con Gauss a cercare il sistema equivalente ma escono soluzioni del tipo: $z=(-1+k)/(1+k)$, $y=(-k^2+2k-1)/(2+2k)$ e non parliamo della $x$ che esce una cosa chilometrica.....
E' del tutto normale che le soluzioni vengano in funzione di $k$, e, in generale, espressioni non "semplici". La traccia dell'esercizio non ti chiede di scrivere un'espressione per le soluzioni, ma solo di determinare il comportamento del sistema al variare del parametro.
Per il caso particolare $k=2$ si chiede l'inversa della matrice incompleta.
Per il caso particolare $k=2$ si chiede l'inversa della matrice incompleta.
la traccia è un altro dei miei problemi essenziali... la riporto un attimo; allora dice: risolvere i seguenti sistemi lineari, al variare di $k$ e determinare, qualora sia possibile, l'inversa della matrice incompleta del sistema per $k=2$
quindi mi fa capire di risolvere il sistema lineare al variare di $k$, quindi dare la soluzione di x, y e z....
e poi il secondo punto di calcolare la matrice inversa dei coefficienti per $k=2$....io così l'ho interpretata...o iterpreto male?
quindi mi fa capire di risolvere il sistema lineare al variare di $k$, quindi dare la soluzione di x, y e z....
e poi il secondo punto di calcolare la matrice inversa dei coefficienti per $k=2$....io così l'ho interpretata...o iterpreto male?
si si allora ok, devi anche risolvere. Cmq le espressioni per $y$ e $z$ a riguardarle sono piuttosto semplici ($y$ si semplifica anche).. non dovrebbe essere così tremendo calcolare anche $x$. E poi si, calcola l'inversa dell'incompleta per $k = 2$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo