Sistemi lineari con parametro

[MR b]

scusate potreste darmi una mano, perchè ogni volta che mi metto a fare questi sistemi lineari mi spunta fuori un nuovo problema, ho la matrice completa del sistema omogeneo:
1 k -1 3 0
k 1 3 -k 0
1 1 2 -1 0

e mi chiede:
1) studiare il rango della matrice al variare di k
2) determinare i valori di k per cui il sistema è compatibile e le corrispondenti soluzioni
1 3
io ho provato partendo da un minore di ordine 2 come 1 2 ed è ovviamente diverso da zero, perciò ho orlato ancora prendendo le prime tre colonne e mi vengono i valori k=0 e k=1, quindi per questi valori la matrice incompleta (I) ha rango 2, poi però prendendo un altro minore di ordine 3 ( la 2^, 3^ e 4^ colonna) ottengo altri due valori ke sono k=-1 e k=2, ora come devo muovermi?? per favore spiegatemi bene se potete il provcedimento migliore per risolvere questo tipo di esercizio e se potete darmi anche le soluzioni, quindi rispondere alle domande 1 e 2 che vi ho scritto sopra. Grazie

[weblan]

Ho l'impressione che alcune cose scritte nell'altro post sono state completamente trascurate. Poi, quando risolvi un sistema omogeneo sia esso parametrico o non parametrico si scrive una sola matrice: quella dei coefficienti o se vuoi la matrice incompleta!
Si lavora solo ed esclusivamente sulla matrice incompleta. Ricorda anche che un sistema omogeneo è sempre compatibile.

[MR b]

ok quindi per esempio ho fatto con il metodo di gauss e mi viene che per k=1 il rango è 3 e le soluzioni sono
x=-y
z=0
w=0

[weblan]

Vediamo con Gauss-Jordan la soluzione di questo sistema omogeneo:

a) Scrivo la matrice incompleta:


$((1,k,-1,3),(1,1,2,-1),(k,1,3,-k))$ $~~$

$~~$$((1,k,-1,3),(0,k-1,-3,4),(0,1-k^2,3+k,-4k)) $ ora sia $k!=1$

$~~$$((1,k,-1,3),(0,k-1,-3,4),(0,0,-2k,4))~ $$~~$ se anche $k!=0$ la matrice è ridotta a gradini, a dire la verità anche se $k=0$ la matrice è a gradini solo che bisogma prendere $4$ come pivot, si ha:


$~~$ $((1,k,-1,3),(0,k-1,-3,4),(0,0,k,-2))~ $

In caso questo il sistema diventa:

$\{(x +k y -z=-3w ),((k-1)y -3z=-4w),(kz = 2w):}$

che si risolve facilmente, trovando cosi la soluzione generale.


Ora si discutono i casi particolari:

$k=1$

Scrivo la matrice con $k=1$ quando ho posto la condizione sul pivot, quindi:


$((1,1,-1,3),(0,0,-3,4),(0,0,4,-4))~$ $~~$$((1,1,-1,3),(0,0,-3,4),(0,0,1,-1))~$$~~$
$~~$$~((1,1,-1,3),(0,0,1,-1),(0,0,-3,4))~$$~~$ $((1,1,-1,3),(0,0,1,-1),(0,0,0,1))~$, in caso questo il sistema diventa:

$\{(x -z+3w=-y ),(z-w=0),(w=0):}$ , che risolto restituisce la tua soluzione.

Infine, si discute il caso $k=0$

Scrivo in pratica l'ultima matrice:

$((1,0,-1,3),(0,-1,-3,4),(0,0,0,-2))~$$~~$$((1,0,-1,3),(0,-1,-3,4),(0,0,0,1))~$, il sistema diventa:

$\{(x +3w=0 ),(-y+4w=0),(w=0):}$, lo risolvi facilmente tenendo conto della variabile libera $z$.