Sistemi in forma canonica
Devo svolgere due problemi sulla trasformazione di un sistema in forma canonica, ho dei dubbi riguardo questi due esercizi.
Li metto sotto Spoiler così da non rendere enorme il primo post.
Vi ringrazio!
Li metto sotto Spoiler così da non rendere enorme il primo post.
Vi ringrazio!
Risposte
Buona sera.
Scusa l'ignoranza, potresti dore la definizione di forma normale di un sistema? Intendi ridotta a scalini?
Se è così, basta applicare l'algoritmo di Gauss, per esempio il primo sistema:
$\{(x + y + 2z = 2),(2x + 3y + z = -5),(- x - 2y + z = -1):}$
Sommando alla seconda equazione $-2$-volte la prima e alla terza $1$-volta la prima si ottiene
$\{(x + y + 2z = 2),(y -3z = -9),(-y + 3z = 1):}$
sommando la seconda alla terza
$\{(x + y + 2z = 2),(y -3z = -9),(0 = -8):}$
Il sistema è quindi indeterminato. Se la terza riga fosse venuta $0=0$ avresti avuto un sistema ridotto a scalini(con $\infty$ soluzioni).
Il secondo problema è un po' arbitrario, quali sono le prime quattro variabili, $x$, $y$, $z$ e $q$? Comunque basta applicare lo stesso algoritmo di prima.
Devo svolgere due problemi sulla trasformazione di un sistema in forma canonica, ho dei dubbi riguardo questi due esercizi.
Scusa l'ignoranza, potresti dore la definizione di forma normale di un sistema? Intendi ridotta a scalini?
Se è così, basta applicare l'algoritmo di Gauss, per esempio il primo sistema:
$\{(x + y + 2z = 2),(2x + 3y + z = -5),(- x - 2y + z = -1):}$
Sommando alla seconda equazione $-2$-volte la prima e alla terza $1$-volta la prima si ottiene
$\{(x + y + 2z = 2),(y -3z = -9),(-y + 3z = 1):}$
sommando la seconda alla terza
$\{(x + y + 2z = 2),(y -3z = -9),(0 = -8):}$
Il sistema è quindi indeterminato. Se la terza riga fosse venuta $0=0$ avresti avuto un sistema ridotto a scalini(con $\infty$ soluzioni).
Il secondo problema è un po' arbitrario, quali sono le prime quattro variabili, $x$, $y$, $z$ e $q$? Comunque basta applicare lo stesso algoritmo di prima.
Per sistema in forma canonica rispetto alle variabili intendo un sistema in cui in ogni colonna (e quindi in ogni riga) ci sono tutte variabili con coefficiente nullo eccetto una variabile. E' insomma un sistema la cui relativa matrice è una matrice identità, quindi con diagonale di elementi unitari e tutti gli altri elementi nulli.
Per il secondo sistema: sì, le prime quattro variabili sono le prime 4 che leggi.
Ma ciò che non capisco è: cosa faccio poi con la quinta? La devo porre nulla? O cosa?
Per il secondo sistema: sì, le prime quattro variabili sono le prime 4 che leggi.
Ma ciò che non capisco è: cosa faccio poi con la quinta? La devo porre nulla? O cosa?
Ah ok.
Nel secondo sistema puoi "eliminare" un'equazione, dalle prime due equazioni esce che $z = 3$ e se sottrai quest'equazione alla penultima ti viene l'ultima. Allora consideri $t$ come un parametro e scrivi le soluzioni in funzione di $t$.
Nel secondo sistema puoi "eliminare" un'equazione, dalle prime due equazioni esce che $z = 3$ e se sottrai quest'equazione alla penultima ti viene l'ultima. Allora consideri $t$ come un parametro e scrivi le soluzioni in funzione di $t$.
In che modo posso decidere quale equazione eliminare ?
La dipendenza lineare è tra la prima la seconda e la quarta, quindi una di esse. Ma devi semplicemente ridurla usando le operazioni elementari e seguendo l'algoritmo di Gauss-Jordan, considerando $t$ come parametro.
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