Sistemi di vettori. Definizione rigorosa.
Buon di
ho un dubbio sulla definizione rigorosa di sistema di vettori di un spazio lineare.
Devo aver letto da qualche parte che la definizione di sistema equivale a quella di
di famiglia di insiemi indicizzata in un altro insieme (numerabile o non).
Voi cosa ne pensate ?
Grazie per gli interventi
ho un dubbio sulla definizione rigorosa di sistema di vettori di un spazio lineare.
Devo aver letto da qualche parte che la definizione di sistema equivale a quella di
di famiglia di insiemi indicizzata in un altro insieme (numerabile o non).
Voi cosa ne pensate ?
Grazie per gli interventi
Risposte
Che definizione dai tu a ‘sistema di vettori’?
Dato un insieme A;
Per sistema a elementi in uno spazio vettoriale è una famiglia indicizzata in A.
Ovvero una applicazione definita in A a valori vettoriali.
Con A numerabile o non.
Questo a memoria. Ma posso sbagliare.
Per sistema a elementi in uno spazio vettoriale è una famiglia indicizzata in A.
Ovvero una applicazione definita in A a valori vettoriali.
Con A numerabile o non.
Questo a memoria. Ma posso sbagliare.
Sinceramente è la prima volta che sento usare quel nome per quell’oggetto.
Detto questo se tu hai una applicazione da un insieme \(\displaystyle A \) ad uno \(\displaystyle B \) allora il suo grafico è il sottoinsieme di \(\displaystyle A\times B \) definito come \(\displaystyle \{ a\times f(a) \}_{a\in A} \).
D'altra parte se tu fissi un elemento \(\displaystyle b\in f(A)\subseteq B \) tu hai l'insieme \(\displaystyle f^{-1}(b)\times \{ b \}\) che è biettivamente equivalente a \(\displaystyle f^{-1}(b) \). Perciò una funzione definisce il grafico e anche una partizione dell'insieme di partenza indicizzata da elementi dell'immagine. Qualche dubbio?
Detto questo se tu hai una applicazione da un insieme \(\displaystyle A \) ad uno \(\displaystyle B \) allora il suo grafico è il sottoinsieme di \(\displaystyle A\times B \) definito come \(\displaystyle \{ a\times f(a) \}_{a\in A} \).
D'altra parte se tu fissi un elemento \(\displaystyle b\in f(A)\subseteq B \) tu hai l'insieme \(\displaystyle f^{-1}(b)\times \{ b \}\) che è biettivamente equivalente a \(\displaystyle f^{-1}(b) \). Perciò una funzione definisce il grafico e anche una partizione dell'insieme di partenza indicizzata da elementi dell'immagine. Qualche dubbio?
E' molto intuitiva !!!!!!!!!!!! salta subito all' occhio !!!!!!!!!!!!!!
Dunque la partizione è un sistema a elementi in un insieme ?
Dunque la partizione è un sistema a elementi in un insieme ?
"Mino_01":
E' molto intuitiva !!!!!!!!!!!! salta subito all' occhio !!!!!!!!!!!!!!
Sinceramente non comprendo tutti questi punti esclamativi, ne la frase. Tieni comunque conto che alcuni professori usano terminologie e notazioni esoteriche, che quindi sono inadatte ad essere usate con il resto del mondo. Tra l'altro penso che nel caso della geometria del primo anno potrebbe essere usato un decimo dei nomi di alcuni libri pur rimanendo totalmente espressivi (in alcuni casi guadagnandone anche).
"Mino_01":
Dunque la partizione è un sistema a elementi in un insieme ?
Una partizione di un insieme è, semplicemente, una famiglia di sottoinsiemi tale che la loro unione è l'insieme di partenza e l'intersezione per ogni coppia di sottoinsiemi è vuota. Può essere vista come una famiglia indicizzata se preferisci, ma non sempre si construisce a partire da una funzione (anzi spesso non è così). Io non uso la terminologia "sistema a elementi in un insieme", ho solo mostrato il collegamento tra ogni funzione e una famiglia si sottoinsiemi del dominio indicizzata da elementi del codominio.
Un esempio del gioco che ho fatto prima è dato dal fatto che esiste una biezione tra l'insieme delle parti di un insieme e l'insieme delle funzioni tra l'insieme e \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \). La funzione associata ad un particolare sottoinsieme \(\displaystyle A \) si chiama ‘funzione indicatrice di \(\displaystyle A \)’ (la notazione dipende dal settore della matematica in cui si usa)
I punti esclamativi li ho usati per scherzare,
per enfatizzare che non ho capito. Se pensi che sia non opportuno mi astengo dal riportarli.
Quindi la definizione quale è ?
Nel libro di algebra che ho definisce il sistema come un sottinsieme di vettori...
per enfatizzare che non ho capito. Se pensi che sia non opportuno mi astengo dal riportarli.
Quindi la definizione quale è ?
Nel libro di algebra che ho definisce il sistema come un sottinsieme di vettori...
"Mino_01":
I punti esclamativi li ho usati per scherzare,
per enfatizzare che non ho capito. Se pensi che sia non opportuno mi astengo dal riportarli.
Quindi la definizione quale è ?
Nel libro di algebra che ho definisce il sistema come un sottinsieme di vettori...
Mi sa che il problema è proprio che non ci stiamo capendo. Che libro stai usando? In genere io non uso la terminologia sistemi di vettori, ma quando la leggo in genere la intendo come insieme di vettori. Quale sarebbe però il legame con le altre definizioni che hai scritto mi sfugge. E dove hai sentito le altre definizioni?
Innanzi tutto grazie per l' attenzione.
Uso Curzio lezioni di algebra
nella parte relativa ai moduli.
e li definisce sottoinsiemi o parti di Spazi Vettoriali come sistemi di vettori.
Poi i sistemi sono insiemi anche in Lezioni di algebra di Cavicchioli.
La definizione di famiglia è riportata in
introduzione dei metodi dell' algebra lineare di Nicola Melone
qui la definisce come come famiglia finita a elementi vettoriali.
Che mi sembra più intuitiva e più confacente alle idee che mi sono fatto di sistema.
Te cosa ne dici?
Ho riportato altre definizioni ?
Uso Curzio lezioni di algebra
nella parte relativa ai moduli.
e li definisce sottoinsiemi o parti di Spazi Vettoriali come sistemi di vettori.
Poi i sistemi sono insiemi anche in Lezioni di algebra di Cavicchioli.
La definizione di famiglia è riportata in
introduzione dei metodi dell' algebra lineare di Nicola Melone
qui la definisce come come famiglia finita a elementi vettoriali.
Che mi sembra più intuitiva e più confacente alle idee che mi sono fatto di sistema.
Te cosa ne dici?
Ho riportato altre definizioni ?
"Mino_01":
Innanzi tutto grazie per l' attenzione.
Uso Curzio lezioni di algebra
nella parte relativa ai moduli.
e li definisce sottoinsiemi o parti di Spazi Vettoriali come sistemi di vettori.
Poi i sistemi sono insiemi anche in Lezioni di algebra di Cavicchioli.
La definizione di famiglia è riportata in
introduzione dei metodi dell' algebra lineare di Nicola Melone
qui la definisce come come famiglia finita a elementi vettoriali.
Che mi sembra più intuitiva e più confacente alle idee che mi sono fatto di sistema.
Te cosa ne dici?
Ho riportato altre definizioni ?
Che mi ritengo fortunato ad aver studiato la parte di algebra lineare in inglese
Sinceramente mi sembra che i vari libri usino lo stesso termine per indicare cose diverse, capita.
La famiglia se non iniettiva a indici diversi può associare il medesimo vettore, cioè un sistema può avere vettori uguali.
Se il sistema è un insieme non vuoto allora gli elementi devono essere tutti diversi.
cosa ne dici ?
Vict ti trovi bene a studiare dai testi in inglese ?
Se il sistema è un insieme non vuoto allora gli elementi devono essere tutti diversi.
cosa ne dici ?
Vict ti trovi bene a studiare dai testi in inglese ?
L’inglese tecnico non è difficile.
L'unico momento in cui ho trovato avesse senso parlare di sistemi di generatori in senso più generale è con la definizione di presentazione di un gruppo. In quel caso l'insieme di generatori può avere ripetizioni e persino elementi uguali all'indentità. Il problema in questo caso è che si ha a che fare con un gruppo libero su quell'insieme di generatori e si vede G come il quoziente di questo gruppo libero con la chiusura normale dell'insieme delle relazioni. Usando comunque opportune trasformazioni è comunque possibile ridursi al caso senza ripetizioni ed elementi neutri.
L'unico momento in cui ho trovato avesse senso parlare di sistemi di generatori in senso più generale è con la definizione di presentazione di un gruppo. In quel caso l'insieme di generatori può avere ripetizioni e persino elementi uguali all'indentità. Il problema in questo caso è che si ha a che fare con un gruppo libero su quell'insieme di generatori e si vede G come il quoziente di questo gruppo libero con la chiusura normale dell'insieme delle relazioni. Usando comunque opportune trasformazioni è comunque possibile ridursi al caso senza ripetizioni ed elementi neutri.
Ottimo
ma sempre in senso pratico e considerando vettori:
se $ {a,b,c} =A $ libero allora $ {a,b,c,a} =B $ è legato
ma sono lo stesso insieme ( se il sistema è visto come insieme)
o sbaglio.
Ecco dove trovo confacente la definizione come famiglia ..
Cosa ne dici?
comunque è solo un dettaglio.
Ciao
Mino
ma sempre in senso pratico e considerando vettori:
se $ {a,b,c} =A $ libero allora $ {a,b,c,a} =B $ è legato
ma sono lo stesso insieme ( se il sistema è visto come insieme)
o sbaglio.
Ecco dove trovo confacente la definizione come famiglia ..
Cosa ne dici?
comunque è solo un dettaglio.
Ciao
Mino
A rigore \(\displaystyle \{a, b, c, a\} \) non è un insieme. Comunque penso che non serva complicare le cose.
ma guarda un pò ... tempo fa avevo aperto una simile discussione (CLIC)
Però puoi considerare il concetto di sistema come sinonimo di insieme!
... tempo fa avevo aperto una simile discussione (CLIC)Però puoi considerare il concetto di sistema come sinonimo di insieme!
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