Sistemi di riferimento e cambi di base
Ciao a tutti, avrei un dubbio che spero possiate chiarirmi.
Non riesco a capire bene la differenza tra una base ed un sistema di riferimento. Nel senso, prendiamo uno spazio Rn allora tutti gli elementi di tale spazio sono i vettori di n elementi reali. Ma se dovessi rappresentarli? Chi mi dice che devo scegliere il sistema di riferimento cartesiano e porre la base canonica uguale ai versori su tali assi? Cioè se un vettore é identificabile come un punto, rispetto ad una certa base, é anche vero che la base essendo un insieme di vettori linearmente indipendenti è esprimibile rispetto ad un altra è così via.. Dove sta il fondo di tutto ciò? Cioè mettiamola così, le basi rispetto a cosa sono riferite? Si sceglie quella canonica come base fondamentale?
Non riesco a capire bene la differenza tra una base ed un sistema di riferimento. Nel senso, prendiamo uno spazio Rn allora tutti gli elementi di tale spazio sono i vettori di n elementi reali. Ma se dovessi rappresentarli? Chi mi dice che devo scegliere il sistema di riferimento cartesiano e porre la base canonica uguale ai versori su tali assi? Cioè se un vettore é identificabile come un punto, rispetto ad una certa base, é anche vero che la base essendo un insieme di vettori linearmente indipendenti è esprimibile rispetto ad un altra è così via.. Dove sta il fondo di tutto ciò? Cioè mettiamola così, le basi rispetto a cosa sono riferite? Si sceglie quella canonica come base fondamentale?
Risposte
So che la domanda é strana ma mi sto proprio scervellando per capirlo senza risultati. Come mostro l'equivalenza tra punti nello spazio e vettori se la base di per se potrebbe essere qualsiasi cosa. Cioè se io prendo R2, la base canonica é (1 0), (0,1) ma chi mi dice che questi due versori sono quelli degli assi cartesiani? Non potrei scegliere due assi che tra loro formano un angolo qualsiasi e dire che sono i versori di questi assi? O addirittura scegliere delle linee non rette? Tanto basta che fisso un origine un verso di percorrenza e un'unità di misura giusto?
Mm ho ancora un po' di confusione. Un vettore si può esprime come come coordinate rispetto ad una base. Tale base è un insieme di vettori. (Algebricamente tutto a posto) ma tale base è un insieme di vettori. Perciò anche essi se si volessero rappresentare sarebbero nient'altro che coordinate. Coordinate rispetto a cosa? Io ho sempre pensato rispetto al mio sistema di riferimento che è in 2D quello cartesiano. Però effettivamente chi mi dice che non potrebbero essere rispetto a qualsiasi altre rette incidenti orientate e con unità di misura?
Infatti sono d'accordo! Il problema è appunto che preso uno spazio vettoriale del tipo Rn costituito da n elementi reali. Io non capisco come darli un interpretazione geometrica, dato che nei testi c'è sempre io ho pensato di introdurre Il prodotto scalare. Così avrei uno spazio euclideo giusto? Perciò dovrei poter definire angoli e distanze. Però resta sempre il dubbio, che rappresentazione do alla base?
Intendi dire che la base la posso rappresentare rispetto ad un particolare insieme di vettori linearmente indipendenti? Allora sarebbe una nuova base giusto? questo dualismo tra vettore e vettore coordinate non mi è chiaro perché a me sembra di usare delle coordinate per descrivere altre coordinate. Alla base cosa c'è?
Certo io parlavo di Rn non di un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione n. Comunque inizio a credere che quello che chiamo sistema di riferimento potrebbe non esserlo. Cercherò di spiegarmi meglio. Per me R2 è l'insieme di tutti le possibili coppie di elementi reali come (1 2) (1.45 -pi) (0 1) etc.. Queste coppie le chiamo vettori. Ora io posso immaginare di dare un significato fisico a tali coppie di numeri. In particolare preso un piano formato da due assi incidenti posso pensare ai vettori come a delle frecce che partono dall'intersezione degli assi e arrivano in un punto di coordinate gli elementi del vettore. Ecco io con sistema di riferimento intendo questi due assi. Poi perché valgano le proprietà che si usano di solito in geometria dico che per lo spazio in questione vale un prodotto scalare. Le basi invece per me sono semplicemente una coppie di vettori linearmente indipendenti. Quindi una base se fisso un sistema di riferimento la rappresento come le frecce date dalle coordinate di cui è composta.
La mia domanda quindi sarebbe quali di questi "sistemi di riferimento" sarebbe lecito usare? Io ho sempre usato due rette ortogonali tra loro. Ma potrei sceglierne due tra loro non ortogonali? Non intendo dire che voglio scegliere due vettori linearmente indipendenti non ortogonali per fare una nuova base. Questo so che posso farlo. Io intendo dire se è lecito rappresentare la base canonica su "sistemi di riferimento" qualsiasi. Cioè tipo che nel disegno metto la base canonica come due vertori tra loro non perpendicolari e poi i vettori perpendicolari sono un'altra base. Mi rendo però conto che così perderei il significato naturale di angolo. Ma va beh
La mia domanda quindi sarebbe quali di questi "sistemi di riferimento" sarebbe lecito usare? Io ho sempre usato due rette ortogonali tra loro. Ma potrei sceglierne due tra loro non ortogonali? Non intendo dire che voglio scegliere due vettori linearmente indipendenti non ortogonali per fare una nuova base. Questo so che posso farlo. Io intendo dire se è lecito rappresentare la base canonica su "sistemi di riferimento" qualsiasi. Cioè tipo che nel disegno metto la base canonica come due vertori tra loro non perpendicolari e poi i vettori perpendicolari sono un'altra base. Mi rendo però conto che così perderei il significato naturale di angolo. Ma va beh
Il "per me" l' ho messo perché siccome mi sono reso conto di aver capito meno di quello che pensassi, stavo cercando di spiegare quello che io ho capito essere una base etc...
Comunque, vediamo se ho capito. Uno spazio vettoriale è un insieme di elementi per cui valgono delle operazioni con determinate proprieta. Si può parlare di spazi di qualsiasi genere. Spazi di polinomi di funzioni etc... Basta che soddisfino quanto sopra.
Gli spazi vettoriali di tutte le R2 e R3 hanno una corrispondenza biunivoca tra elemento e punto in un sistema di riferimento 2D e 3D. Il sistema di riferimento sono degli assi con una direzione è un unità di misura, non sono una proprietà dello spazio R2 (R3) ma semplicemente c'è una relazione biunivoca tra elementi di R2 e punti su tali assi.
Se in uno spazio vettoriale introduco un prodotto scalare, uno perché ce ne sono diversi tipi, posso definire delle quantità che però appunto dipendono dal tipo di prodotto scalare definito. Un esempio, se io prendo lo spazio vettoriale di tutte le R2, e dico che vale il prodotto scalare definito in modo analitico (a,b)*(c,d)=ac+bd, allora posso definire i concetti di lunghezza, distanza e angoli. Tali concetti però non hanno il significato geometrico a cui siamo abituati, anzi non hanno di per se nessun significato. Se però io traccio gli elementi di R2 (R3) in un sistema di riferimento formato da due assi ortogonali tra loro, allora tali concetti hanno nella corrispettiva rappresentazione sul sistema di riferimento proprio il significato geometrico a cui siamo abituati. Il che è comodo.
Comunque, vediamo se ho capito. Uno spazio vettoriale è un insieme di elementi per cui valgono delle operazioni con determinate proprieta. Si può parlare di spazi di qualsiasi genere. Spazi di polinomi di funzioni etc... Basta che soddisfino quanto sopra.
Gli spazi vettoriali di tutte le R2 e R3 hanno una corrispondenza biunivoca tra elemento e punto in un sistema di riferimento 2D e 3D. Il sistema di riferimento sono degli assi con una direzione è un unità di misura, non sono una proprietà dello spazio R2 (R3) ma semplicemente c'è una relazione biunivoca tra elementi di R2 e punti su tali assi.
Se in uno spazio vettoriale introduco un prodotto scalare, uno perché ce ne sono diversi tipi, posso definire delle quantità che però appunto dipendono dal tipo di prodotto scalare definito. Un esempio, se io prendo lo spazio vettoriale di tutte le R2, e dico che vale il prodotto scalare definito in modo analitico (a,b)*(c,d)=ac+bd, allora posso definire i concetti di lunghezza, distanza e angoli. Tali concetti però non hanno il significato geometrico a cui siamo abituati, anzi non hanno di per se nessun significato. Se però io traccio gli elementi di R2 (R3) in un sistema di riferimento formato da due assi ortogonali tra loro, allora tali concetti hanno nella corrispettiva rappresentazione sul sistema di riferimento proprio il significato geometrico a cui siamo abituati. Il che è comodo.
Ho capito che non ha assi, infatti sto dicendo che se io su un foglio mi faccio due assi (qualsisiasi) c'è una corrispondenza biunivoca tra elementi R2 e punti sugli assi.
Scusami se ti sono sembrato arrogante. Continuavo ad insistere solo per cercare di capire. Allora mettiamola così, io riesco a capire bene i concetti di spazi vettoriali etc.. fino a che sono astratti. Poi pero non riesco a capire come usarli nella pratica. Perché per esempio in meccanica razionale ci hanno sempre parlato dei sistemi di riferimento come se fossero basi. E cambiare sistema significava cambiare base. Questo non capisco. Come faccio a usare i concetti astratti nei problemi reali?
Un'applicazione lineare, se rappresentata da una matrice, si applica su vettori coordinate giusto? Non ha senso parlare di matrice di rappresentazione senza definire una base. Comunque lo spazio affine non l'ho mai sentito purtroppo, sta sera ne leggo bene la definizione. Quindi mi dici che i problemi fisici classici che operano con vettori come meccanica razione etc... Usano spazi affini?
Quest'ultimo messaggio mi ha chiarito moltissimo le idee grazie mille. Per i sitemi dinamici vediamo se ho capito... se io ho un sistema di equazioni differenziali tipo
x'=Ax dove x è un vettore e A la matrice dei coefficienti. La x che sarebbe il vettore degli stati del sistema. Ora questo vettore è in realtà un vettore di coordinate rispetto ad una base dello spazio vettoriale RN, è corretto? Perché altrimenti non capisco come sia possibile sostituire A con una diagonale, dato il discorso delle matrici silimi io l'associo alle applicazioni lineari. Inoltre se avessi detto giusto, rispetto a quale base? Perché nei problemi non se ne parla mai. Si prende quella canonica cosicché le equazioni di stato non devono essere cambiate per metterle in forma matriciale?( perché vettore coordinate e vettori coincidono)
Forse sto correndo di nuovo troppo, dimmi te
x'=Ax dove x è un vettore e A la matrice dei coefficienti. La x che sarebbe il vettore degli stati del sistema. Ora questo vettore è in realtà un vettore di coordinate rispetto ad una base dello spazio vettoriale RN, è corretto? Perché altrimenti non capisco come sia possibile sostituire A con una diagonale, dato il discorso delle matrici silimi io l'associo alle applicazioni lineari. Inoltre se avessi detto giusto, rispetto a quale base? Perché nei problemi non se ne parla mai. Si prende quella canonica cosicché le equazioni di stato non devono essere cambiate per metterle in forma matriciale?( perché vettore coordinate e vettori coincidono)
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