Sistemi di generatori (Algebra Lineare)
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Risposte
se hai n vettori $v_1$ ... $v_n$ questi generano uno spazio che è dato da tutti i vettori che si possono ottenere con le loro combinazioni lineari.
$v = \alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n$
questo è il concetto di generatori..
I generatori sono una base se sono linearmente indipendenti.. spero sia chiaro il concetto di linearmente indipendenti.. significa che $v = 0 $solo se $\alpha_1 = ... =\alpha_n = 0$
esempio
$[[1],[0]]$ $[[1],[1]]$ $[[-1],[1]]$
sono tre vettori che generano $R^2$, perchè ogni vettore di $R^2$ può essere scritto come:
$v = \alpha[[1],[0]] + \beta [[1],[1]] + \gamma[[-1],[1]]$
quindi sono dei generatori, ma non sono una base. Infatti non sono linearmente indipendenti (provalo..).
Tra i tre si può scegliere una base: infatti ogni vettore di $R^2$ può essere anche scritto come:
$v = \delta[[1],[0]] + \epsilon [[1],[1]]$
Questi due sono linearmente indipendenti, pertanto sono una base per $R^2$
$v = \alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n$
questo è il concetto di generatori..
I generatori sono una base se sono linearmente indipendenti.. spero sia chiaro il concetto di linearmente indipendenti.. significa che $v = 0 $solo se $\alpha_1 = ... =\alpha_n = 0$
esempio
$[[1],[0]]$ $[[1],[1]]$ $[[-1],[1]]$
sono tre vettori che generano $R^2$, perchè ogni vettore di $R^2$ può essere scritto come:
$v = \alpha[[1],[0]] + \beta [[1],[1]] + \gamma[[-1],[1]]$
quindi sono dei generatori, ma non sono una base. Infatti non sono linearmente indipendenti (provalo..).
Tra i tre si può scegliere una base: infatti ogni vettore di $R^2$ può essere anche scritto come:
$v = \delta[[1],[0]] + \epsilon [[1],[1]]$
Questi due sono linearmente indipendenti, pertanto sono una base per $R^2$
Concordo con Zio_paperone, in pratica
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$.
Sia $W$ compreso o uguale a $V$
si dice che $W$ e' un sistema di generatori per $V$ se...
per ogni $v$ appartenente a $V$, esiste $(w1,w2,....,wn)$ appartenenti a $W^n$ e $(a1,a1,....,an)$ appartenenti a $K^n$ tali che $v=a1w1+a2w2+...+anw2$
Se poi $(w1,w2,....,wn)$ sono linearmente indipendenti, allora prendono il nome di Base.
Ciao
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$.
Sia $W$ compreso o uguale a $V$
si dice che $W$ e' un sistema di generatori per $V$ se...
per ogni $v$ appartenente a $V$, esiste $(w1,w2,....,wn)$ appartenenti a $W^n$ e $(a1,a1,....,an)$ appartenenti a $K^n$ tali che $v=a1w1+a2w2+...+anw2$
Se poi $(w1,w2,....,wn)$ sono linearmente indipendenti, allora prendono il nome di Base.
Ciao
sì, ho tralasciato di specificare, ma spero sia chiaro, che nel mio intervento le lettere latine sono vettori, mentre quelle greche sono numeri...
"ledrox":
Salve,
qualcuno sa esporre in modo chiaro cos'è un sistema di generatori, il concetto di finitamente generabile,.... Credevo di aver capito il concetto però poi ho scoperto che tale sistema di generatori può anche non essere una base e mi sono venuti quindi nuovi dubbi. In più mi farebbe piacere l'uso di esempi e metodi per individuare tali sistemi di generatori.
Grazie
Cordiali Saluti
Raffaele
Prendi i seguenti vettori di $RR^2$:
$((1),(0)) , ((0),(1))$ e $((1),(1))$
i primi due costituiscono una base di $RR^2$, quindi il terzo è sovrabbondante.
Ogni vettore $v$ di $RR^2$ si può scrivere come combinazione lineare dei tre vettori:
$v = lambda_1 ((1),(0)) + lambda_2 ((0),(1)) + lambda_3 ((1),(1))$
ma i tre coefficienti $lambda_k$ della combinazione non sono unici.
Tieni conto che l'unicità è importante perché a coefficienti diversi
corrispondono vettori diversi, mentre nel nostro esempio ci sono
infinite terne di numeri associateal lo stesso vettore.
Ad esempio, il vettore $((2),(3))$ può essere scritto in infiniti modi:
$((2),(3)) = (2+t) * ((1),(0)) + (3+t) * ((0),(1)) + (-t)*((1),(1)) $ .
Grazie mille a tutti
"ledrox":
Grazie mille a tutti
Prego!
scusate se rispolvero un vecchio post ma mi sembra abbastanza utile per la mia domanda :
c'è un criterio per stabilire come un "candidato" sistema di generatori di un certo spazio V lo sia veramente?
c'è un criterio per stabilire come un "candidato" sistema di generatori di un certo spazio V lo sia veramente?
Vedi seogni vettore di V può essere scritto come combinazione linare di quel sistema di generatori
.
.
potresti farmi un esempio pratico?
Prendi $R^2$ i vettori $\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 2\\0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0\\5\end{pmatrix}$ tu puoi vedere che un generico vettore che appartiene a $R^2$ si scrive come comb.lineare di questi 3 vettori..riusciresti a farlo ora che ti ho dato i vettori?
si ho capito cosa sono i sistemi generatori e cosa significa ke siano linearmente indipendenti, la mia domanda è come faccio a stabilire che quei vettori effettivamente generano tutto lo spazio che essi dovrebbero generare?
Prendi un generico vettore dello spazio e vedi se può essere scritto come combinazione lineare dei generatori.
ok grazie mille 
Nulla 
Scusate l'ignoranza, ma se il sistema di generatori di una spazio vettoriale V su un campo K è semplicemente un insieme di vettori dello spazio che generano tutto lo spazio. Perché non lo chiamano insieme di generatori? non capisco quale sia la differenza fra sistema e insieme.
Grazie a tutti per l'attenzione
Grazie a tutti per l'attenzione
non penso che sia esattamente la stessa cosa...se tu dici INSIEME di generatori di V allora sono tutti i sistemi di generatori V se dici sistema di generatori è un unico sistema...cosi la penso io...
Sinceramente non avevo mai fatto caso a questa sottigliezza comunque sgoogolando un po' ho visto che sono sostanzialmente due cose uguali con due nomi differenti @megaempire cerca su wiki la voce "insieme di generatori" e vedrai che sbagli a pensare così.
Salve ledrox,
proprio oggi ho postato una definizione simile:
"Def.: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), \( F \) un sottospazio vettoriale di \( E \), ed \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \subseteq E \), dicesi che \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) è insieme generatore di \( F \) se \( F = \mathscr{L} (v_1,v_2,...,v_p) \)"
Preciso che \( \mathscr{L} (v_1,v_2,...,v_p) \) è ovviamente questo..
Cordiali saluti
"ledrox":
Salve,
qualcuno sa esporre in modo chiaro cos'è un sistema di generatori, il concetto di finitamente generabile,.... Credevo di aver capito il concetto però poi ho scoperto che tale sistema di generatori può anche non essere una base e mi sono venuti quindi nuovi dubbi. In più mi farebbe piacere l'uso di esempi e metodi per individuare tali sistemi di generatori.
Grazie
Cordiali Saluti
Raffaele
proprio oggi ho postato una definizione simile:
"Def.: siano dati \( E \) uno spazio vettoriale su \( K \) rispetto ad \( +_E \) e \( \cdot_E \), \( F \) un sottospazio vettoriale di \( E \), ed \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \subseteq E \), dicesi che \( \{v_1,v_2,...,v_p\} \) è insieme generatore di \( F \) se \( F = \mathscr{L} (v_1,v_2,...,v_p) \)"
Preciso che \( \mathscr{L} (v_1,v_2,...,v_p) \) è ovviamente questo..
Cordiali saluti
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