Sistemi di generatori

[Piex89]

Dunque, questa è la prima domanda (spero la prima ed unica ). Ho un dubbio che mi attanaglia da un po', avendo iniziato da poco il corso di algebra lineare e geometria.

Ho capito cos'è un sistema di generatori: dato un sistema di vettori A, se il loro span lineare genera tutto lo spazio vettoriale, A è definito sistema di generatori dello spazio vettoriale. E fin qui ci siamo. A questo punto mi sorge un dubbio. I sistemi di generatori possono essere sia linearmente indipendenti nonché linearmente dipendenti. Ergo, se ho un sistema di vettori del tipo $ (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)$ appartenenti a $ RR^3 $ essi sono sia un sistema di generatori sia linearmente indipendenti, dunque generano tutto $ RR^3 $. Se aggiungo un altro vettore alla terna, il sistema di generatori diventa linearmente dipendente: $ (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)$

Ma se sono linearmente dipendenti come fanno ad essere anche un sistema di generatori e quindi a generare tutto $RR^3$?

[Alexp1]

Per essere un sistema di generatori, non devono essere necessariamente una base.

[Piex89]

"Alexp":Per essere un sistema di generatori, non devono essere necessariamente una base.

Questo l'ho capito però non capisco come può un sistema di generatori dipendenti generare tutto lo spazio vettoriale.

[Giuly191]

Nulla vieta che in un sistema di generatori vi siano vettori linearmente dipendenti. Il passaggio successivo è la definizione di base, che è il sistema massimale di vettori linearmente indipendenti di uno spazio V. (In poche parole avendo un sistema massimale di vettori l.i., qualsiasi vettore tu aggiunga hai che i vettori che avevi prima insieme a quello nuovo sono lin. dip.). Forse è proprio per questo che confondi le due cose.
Comunque tieni presente che, chiamando $ul(v_1),ul(v_2),ul(v_3),ul(v_4) $ gli ultimi 4 vettori che hai scritto si ha:
$span(ul(v_1),ul(v_2),ul(v_3),ul(v_4))=span(ul(v_1),ul(v_2),ul(v_3))=RR^3$, proprio perchè $ul(v_4)=aul(v_1)+bul(v_2)+cul(v_3)$ ,$a,b,c in RR$

[Alexp1]

Beh, non è che dei vettori linearmente dipendenti presi "a caso" sono necessariamente un sistema di generatori, perchè come dici tu, non riuscirebbere a generare tutto lo spazio...se per esempio prendessimo come vettori $(1,0,0)$, $(2,0,0)$ e $(0,0,1)$ non potrebbero essere un sistema di generatori.

Un sistema di generatori per essere tale o è una base o ne continene una.

[Piex89]

Quindi se sono linearmente indipendenti i vettori generano TUTTO lo spazio vettoriale, mentre se sono lin. dipendenti solo una parte?

[Alexp1]

Se i vettori sono una base dello spazio vettoriale, sono per definizione anche un sistema di generatori....se si hanno dei vettori linearmente dipendenti, ma all'interno di essi si riesce ad individuare una base, allora anch'essi saranno un sistema di generatori, altrimenti no

[Piex89]

Perfetto, ora è tutto chiaro grazie mille a tutti!

[Piex89]

Scusate il doppio post, ma mi è sorto in mente un altro dubbio!

Un sistema di generatori sarà SEMPRE una sequenza di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio vettoriale?

[dissonance]

Questa domanda significa che non hai capito quello che ti è stato spiegato prima. Studiati la prima parte di "Algebra lineare for dummies" di Sergio:

https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html

[Gi81]

Assolutamente no.
Se i vettori generano lo spazio non è detto che siano indipendenti.
Ad esempio, in $RR^2$, prendendo $V={(1,0),(0,1),(1,1)}$
hai che i vettori di $V$ generano $RR^2$, ma non sono linearmente indipendenti

[asromavale1]

perchè ogni insieme finito di generatori contiene un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti?Il mio testo sembra presupporlo ovvio
grazie in anticipo