Sistemi di 3 equazioni in 3 incognite indeterminate.

[Kurtis92]

Esistono sistemi lineari di 3 equazioni in 3 incognite che siano indeterminati, ovvero che hanno infinite soluzioni?
Se si, come si può dimostrare?
Scusate se la domanda può sembrare stupida, ma su questa cosa ci sto ragionando da un po' di giorni e, ammetto, mi sono un po' perso... se almeno potreste darmi un punto di partenza, ve ne sarei grato!

[DavideGenova1]

Sì, certo. Un sistema di $m$ equazioni in $n$ incognite ammette almeno una soluzione se e solo se, pensandolo come un sistema matriciale \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), $\mathbf{b}$ è nello spazio colonna di $A$, cioè è una combinazione lineare delle colonne di $A$. Se $\mathbf{b}$ è nello spazio colonna di $A$ e il rango -il numero massimo di colonne o righe linearmente indipendenti che puoi scegliere dalle colonne o dalle righe della matrice- di \(A\) è minore del numero $n$ di colonne di $A$, allora il sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) ammette infinite soluzioni.
Si tratta di argomenti fondamentali che direi che ogni testo di algebra lineare tratti.
Il primo esempio $3×3$ che mi viene in mente è il sistema omogeneo\[x+y+z=0\]\[y+z=0\]\[x+2y+2z=0\]
Ciao!

[Kurtis92]

Ok, grazie mille, sei stato molto chiaro!