Sistemi di 2 equazioni in 3 incognite

[ktmktm]

Buongiorno a tutti!
Risolvendo un esercizio sui sistemi lineari mi sono imbattutto in un sistema a 2 equazioni e 3 incognite.

$-x+3y+3z=1$
$3x-9y-9z=-3$

Come cavolo si risolve???

Sinceramente ne ho provata di ogni, alla fine seguendo un esercizio svolto su internet ho provato anche a mettere z uguale ad un parametro t e a calcolare la x e la y in funzione del parametro, ma la soluzione viene diversa da quella del libro!
Il libro da come soluzione $(x,y,1+x-3y)$.

Mi spiegate il procedimento passo passo per favore?

Grazie mille

[gabriella127]

E' semplice se osservi che la seconda equazione è uguale alla prima moltiplicata per -3, quindi la puoi eliminare.
Risolvi la prima rispetto a z, a me viene $ z=(1+x-3y)/3 $ , c'è quel 3 la denominatore che non c'è nella soluzione del libro, x e y sono liberi.

[21zuclo]

Aggiungo solamente una cosa, per spiegare a ktmktm, per vedere quante incognite libere hai...

Il tuo sistema lineare si può scrivere anche [tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
-1 &3& 3& 1\\
3 & -9 & -9& -3 \\
\end{array}
\right)[/tex]

utilizzando Gauss facendo l'operazione elementare $R2=3R1+R2$ ottieni [tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
-1 &3& 3& 1\\
0 & 0 & 0& 0 \\
\end{array}
\right)[/tex]

ti accorgi che la matrice dei coefficienti e la matrice completa $A|b$ hanno lo stesso rango $\rho(A)=\rho(A|b)=1$

quindi il sistema ha $3-1=2$ cioè $\infty^2$ soluzioni, ossia 2 variabili libere