Sistema per determinare una base per un autospazio

[zavo91]

ho questa matrice B=$[[-1,-1,2],[1,1,2],[2,2,2]]$ devo calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio.
per gli autovalori uso il polinomio caratteristico $det(\lambdaI-B)$=det$[[lambda+1,1,-2],[-1,lambda-1,-2],[-2,-2,lambda-2]]$=$lambda(lambda-4)(lambda+2)$ e quindi gli autovalori sono $0;4;-2$
prendo $lambda=4$ e lo sostituisco nella matrice $[[lambda+1,1,-2],[-1,lambda-1,-2],[-2,-2,lambda-2]]$ e diventa $[[5,1,-2],[-1,3,-2],[-2,-2,2]]$ e risolvo il sistema $\{(5x+y-2z=0),(-x+3y-2z=0),(-2x-2y+2z=0):}$ sono fuso e non riesco a risolverlo è un continuo di sostituzioni che non mi portano a nulla mi sapete dare una mano?

P.S.la molteplicità algebrica di un autovalore è la dimensione dell'autospazio corrispondente e fin qui ci sono mi potete fare un esempio?

[orazioster]

"zavo91":
P.S.la molteplicità algebrica di un autovalore è la dimensione dell'autospazio corrispondente e fin qui ci sono mi potete fare un esempio?

No: la molteplicità geometrica è la dimensione dell'autospazio.

Per quanto riguarda il sistema -che dire? riposati un po' e poi rimetticiti.

Hai comunque il metodo della riduzione a gradini di Gauss, se non vuoi affrontare direttamente
con Cramer -anche se Cramer può essere un ottimo esercizio per il calcolo di determinanti.

[zavo91]

si scusa volevo dire la molteplicità geometrica...sai farmi un esempio magari su questo esercizio?

[orazioster]

Si definisce molteplicità geometrica esttamente la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore;
per conoscere la molteplicità geometrica, devi conoscere il rango della matrice dei coefficienti
che hai ponendo $\lambda=lambda_i$.
Nel tuo caso, poichè la molteplicità geometrica è maggiore o uguale ad uno,
e minore o uguale alla molteplicità algebrica, poichè hai tre autovalori distinti, hai tre autospazi
ognuno di dimensione 1.

Cioè la tua matrice è sicuramente diagonalizzabile se hai tutti autovalori distinti.

[zavo91]

quindi vado a cercare il rango della matrice $(lambdaI-B)$ e il rango è uguale alla molteplicità geometrica?

[orazioster]

No di certo! la molteplicità geometrica è la dimensione
dello spazio delle soluzioni, per cui è uguale a: ordine della matrice-rango.

Nel tuo caso, come dissi, hai tre autospazi ognuno con dimensione 1.

[zavo91]

"orazioster":No di certo! la molteplicità geometrica è la dimensione
dello spazio delle soluzioni, per cui è uguale a: ordine della matrice-rango.

Nel tuo caso, come dissi, hai tre autospazi ognuno con dimensione 1.

la matrice di cui devo studiare il rango è $(lambdaI-A)$ dove$lambda$=autovalore???
molteplicità algebrica per tutti e tre uguale a 1 quindi autovalori regolari la matrice è diagonalizzabile esatto?

[orazioster]

Sì, è quella matrice.

Nel tuo caso, appunto, LA MATRICE $B$ è diagonalizzabile

@edit: sì, intendevo la matrice che ci interessa, qui indicata come $B$

[zavo91]

grazie credo di aver capito