Sistema ortogonale di autovettori
Scusate, una informazione...
Data una matrice simmetrica 3X3 ed i sui tre autovettori, come faccio a costruire un sistema ortogonale di autovettori di A?
Qualcuno sa aiutarmi.........? Grazie!
Viviana.
Data una matrice simmetrica 3X3 ed i sui tre autovettori, come faccio a costruire un sistema ortogonale di autovettori di A?
Qualcuno sa aiutarmi.........? Grazie!
Viviana.
Risposte
Il Teorema Spettrale (o meglio, l'interpretazione matriciale) dice che le matrici simmetriche ammettono una base diagonalizzante (cioè di autovettori) ortogonale...
Gli autovettori delle matrici simmetriche si trovano esattamente come gli autovettori di tutte le altre matrici: si determinano gli autovalori (zeri del polinomio caratteristico) e, per ogni autovalore, l'autospazio associato...
Gli autovettori delle matrici simmetriche si trovano esattamente come gli autovettori di tutte le altre matrici: si determinano gli autovalori (zeri del polinomio caratteristico) e, per ogni autovalore, l'autospazio associato...
Se non ho capito male, tu quindi suggerisci di trovare una base qualsiasi di autovettori, e poi di ottenere una base ortonormale di autovettori (magari con l'algoritmo di Gram-Schmidt), giusto?
"dissonance":
Se non ho capito male, tu quindi suggerisci di trovare una base qualsiasi di autovettori, e poi di ottenere una base ortonormale di autovettori (magari con l'algoritmo di Gram-Schmidt), giusto?
Parlavamo di una base ortogonale, non ortonormale...
Si, forse non sono stato chiarissimo... Ho pensato che, trattandosi di una matrice 3x3, tali autovettori si riescano a vedere "ad occhio". In generale si può usare Gram-Schmidt sulle basi di ciascun autospazio e giustapporre gli insiemi così trovati... Il risultato è una base che diagonalizza $A$ "ortogonalmente"...
Se poi vogliamo una base ortonormale, basta moltiplicare ciascun vettore di questa base per l'inverso della propria norma...
No no sei stato chiaro figurati...Il fatto è che io mi ci stavo un po' incartando su questa domanda: se non mi ricordo male, il teorema spettrale si dimostra proprio costruendo un metodo per diagonalizzare un endomorfismo simmetrico (autoaggiunto) con un operatore unitario, vero? (*)
Perciò mi era completamente sfuggita la strada più breve, che è quella indicata da te. Da qui il mio stupore!
P.S.: Comunque se ti va di spiegare questo (*) punto mi faresti una cortesia...mi sto accorgendo che non me lo ricordo proprio!
Perciò mi era completamente sfuggita la strada più breve, che è quella indicata da te. Da qui il mio stupore!
P.S.: Comunque se ti va di spiegare questo (*) punto mi faresti una cortesia...mi sto accorgendo che non me lo ricordo proprio!
"dissonance":
No no sei stato chiaro figurati...Il fatto è che io mi ci stavo un po' incartando su questa domanda: se non mi ricordo male, il teorema spettrale si dimostra proprio costruendo un metodo per diagonalizzare un endomorfismo simmetrico (autoaggiunto) con un operatore unitario, vero? (*)
Perciò mi era completamente sfuggita la strada più breve, che è quella indicata da te. Da qui il mio stupore!
P.S.: Comunque se ti va di spiegare questo (*) punto mi faresti una cortesia...mi sto accorgendo che non me lo ricordo proprio!
E' un vero piacere!
La dimostrazione che conosco io non dà un metodo pratico per individuare la tanto agoniata base ortogonale diagonalizzante... La dimostrazione del Teorema Spettrale Reale (ho immaginato che $A$ sia reale) è una specializzazione del Teorema Spettrale Complesso, la cui dimostrazione segue questo ragionamento...
Sia $n$ la dimensione (finita) dello spazio su cui è definito l'endomorfismo autoaggiunto in questione... Per $n=1$ il teorema è banalmente vero. Per $n>1$ si prende un autovalore ed un autovettore $v$ associato e si mostra che la restrizione dell'endomorfismo al complementare di $
...quindi se volessimo applicarlo direttamente a una matrice simmetrica dovremmo:
1)trovare un autovettore v;
2)calcolare il sottospazio ortogonale a;
3)trovare la matrice, simile alla nostra, che rappresenta lo stesso endomorfismo sulla base {v, complemento ortogonale};
4)considerare solo il blocco relativo al complemento ortogonale;
5)tornare al punto 1).
E' questo quello che stavo pensando di fare... da un punto di vista teorico forse funziona pure!! certo che nel concreto...
ciao e grazie!!!
1)trovare un autovettore v;
2)calcolare il sottospazio ortogonale a
3)trovare la matrice, simile alla nostra, che rappresenta lo stesso endomorfismo sulla base {v, complemento ortogonale};
4)considerare solo il blocco relativo al complemento ortogonale;
5)tornare al punto 1).
E' questo quello che stavo pensando di fare... da un punto di vista teorico forse funziona pure!! certo che nel concreto...
ciao e grazie!!!
Infatti... E' il metodo "della disperazione" per il calcolo della segnatura delle applicazioni bilineari simmetriche...
"La_Vivianita":
Data una matrice simmetrica 3X3 ed i sui tre autovettori, come faccio a costruire un sistema ortogonale di autovettori di A?
Se gli autovalori sono tutti distinti non hai problemi:
gli autovettori "nascono" già ortogonali.
Devi fare attenzione quando hai 2 autovalori uguali.
E' un ricordo del mio primo anno di matematica..
Grazie a tutti, con l'algoritmo di Gram-Schmidt sono riuscita a risolvere il problema... 
"La_Vivianita":
Grazie a tutti, con l'algoritmo di Gram-Schmidt sono riuscita a risolvere il problema...
Risollevo il post per capire una cosa! Nel caso di matrici simmetriche noi abbiamo una base di autovettori già ortogonali tra di loro! Se noi applicassimo il teorema di Gram-Schimdt cambieremmo base o sbaglio! Con il teorema di Schmidt possiamo trovarci una base ortonormale a partire da qualsiasi base! Ma nel caso di matrici simmetriche basta solamente calcolarci la norma o sbaglio?
La risposta a questa domanda sta nel post di franced.
Se $A$ è simmetrica, e $lambda, mu$ sono due suoi autovalori distinti, allora ogni $lambda$-autovettore è ortogonale ad ogni $mu$-autovettore. Ma se ci sono due o più $lambda$-autovettori linearmente indipendenti, non è detto che siano ortogonali.
E' qui che puoi usare Gram-Schmidt: una volta trovata una base di autovettori per il $lambda$-autospazio, applichi l'algoritmo e ottieni una base ortonormale di autovettori per il $lambda$-autospazio. Che questa base sia formata da vettori ortogonali a quelli del $mu$-autospazio te lo garantisce l'osservazione di prima. Quindi, se il $mu$-autospazio ha più di un autovettore lin. indip., rifai tutto. E così per ogni autovalore.
Se applichi Gram-Schmidt ad un insieme già ortonormale di suo, l'algoritmo semplicemente non fa niente. Provare per credere!
Se $A$ è simmetrica, e $lambda, mu$ sono due suoi autovalori distinti, allora ogni $lambda$-autovettore è ortogonale ad ogni $mu$-autovettore. Ma se ci sono due o più $lambda$-autovettori linearmente indipendenti, non è detto che siano ortogonali.
E' qui che puoi usare Gram-Schmidt: una volta trovata una base di autovettori per il $lambda$-autospazio, applichi l'algoritmo e ottieni una base ortonormale di autovettori per il $lambda$-autospazio. Che questa base sia formata da vettori ortogonali a quelli del $mu$-autospazio te lo garantisce l'osservazione di prima. Quindi, se il $mu$-autospazio ha più di un autovettore lin. indip., rifai tutto. E così per ogni autovalore.
"clockover":
Se noi applicassimo il teorema di Gram-Schimdt cambieremmo base o sbaglio!
Se applichi Gram-Schmidt ad un insieme già ortonormale di suo, l'algoritmo semplicemente non fa niente. Provare per credere!
Ok grazie, avevo fatto varie prove ma mi rimaneva sempre il pallino di quando la molteplicità geometrica era maggiore!
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