Sistema omogeneo associato

[michele.assirelli]

Sia $A$ una matrice simmetrica 4x4 tale che $det(A)=0$ e $det A$[size=90]4,4[/size]=$2 $
Si descriva l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ad A.

Come potrei procedere per risolvere il quesito? Non ne ho proprio idea...
Con $A$[size=90]4,4[/size] intendiamo la matrice otteneta da A cancellando la 4° riga e la 4° colonna

[billyballo2123]

Il fatto che $\det A_{4,4}\ne 0$ implica che le prime tre colonne di $A$ sono linearmente indipendenti. Però $\det A=0$, quindi la quarta colonna è combinazione lineare delle prime tre, e dunque il $Ker$ dell'applicazione lineare associata ad $A$, che è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ad $A$, ha dimensione uno.

[michele.assirelli]

Che le prime 3 colonne siano lin. indip. e che la 4° sia dipendente dalle prime 3 ok, ma perchè questo implica che la dimensione del nucleo sia 1?
La dimensione del nucleo coincide con il numero di righe lin. dip?

[donald_zeka]

La dimensione del nucleo è $n-rank$

[billyballo2123]

La dimensione dell'immagine è il numero di colonne lin. indip., e dato che la dimensione del nucleo più la dimensione dell'immagine deve dare $4$ (teorema della dimensione), il nucleo deve avere dimensione $1$.

[michele.assirelli]

Ok perfetto
Mi sfuggiva che la dimensione dell'immagine dovesse essere il numero di colonne lin. indip.