Sistema non lineare con passaggio in sottovarietà.
Ciao a tutti. Non sapevo che titolo mettere sinceramente.
Discutere l'esistenza di soluzioni $x,y,w,z in R$ in un intorno di $0 in R^4$ del sistema non lineare
${ ( e^(z+w)+xy+zwe^(y+z)=1 ),( y+sin(xyz)+cos(xzw)=1 ):}$
Allora. Ammetto di non saperne nulla di sistemi non lineari. Comunque ho provato a risolvere questo sistema prima cercando di approssimare con Taylor ciascuna funzione approssimabile... ma mi veniva un casino e non avevo voglia di fare calcoli.
Allora ho pensato a ridurre il sistema ad una sola equazione $e^(z+w)+xy+zwe^(y+z) - y -sin(xyz)-cos(xzw)=0$ e ho considerato la funzione
$g(x,y,w,z) = e^(z+w)+xy+zwe^(y+z) - y -sin(xyz)-cos(xzw)$.
Mi sono chiesto, l'insieme $M={(x,y,w,z) in R^4 : g(x,y,w,z) = 0}$ è una sottovarietà?
Supposto che il gradiente non si annulli(è ristrettivo supporlo in questo caso? credo di sì...) allora ho una 3-varietà.
Il rango della jacobiana è 1 e quindi la dimensione di M è 3.
Guardate, non so neanche io perchè ho cominciato a pensare in termini di varietà... ma siccome sto imparando ora quest'argomento, mi ci sono avventurato e ho cercato di fare qualcosa di sensato.
Insomma, se calcolo il gradiente(calcolato sia a mano che con Mathematica) viene che
$ nablag(x,y,w,z) = ( ( e^(w + x) + y - yz*cos(x y z) + wz*sin(w x z) ),( -1 + x + e^(y + z) w z - x z*cos(x y z) ),(e^(w + x) + e^(y + z) z + x z *sin(w x z)),( e^(y + z) w + e^(y + z) w z - x y*cos(x y z) + wx*sin(w x z) ) )$
e calcolato in $(0,0,0,0)$
$ nablag(0,0,0,0) = ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Lo spazio tangente alla varietà $M$ in $(0,0,0,0)$ è il sottospazio vettoriale $V= Span{( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( -1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1) )}$.
Ora.. è un caso che tutti i punti del tipo $(x,y,w,z)=t( ( -1 ),( 0 ),( 1),( 0 ) )$ e del tipo $(x,y,w,z)=t( ( 0 ),( 0 ),( 0),( 1 ) )$ siano soluzioni del mio sistema? So che quelli che ho appena scritto sono vettori, ma ho notato questa strana coincidenza...
E' una coincidenza o c'è sotto qualcosa che non so?
Ho preso una strada sbagliata o una strada che potrebbe aiutarmi a risolvere il problema?
Grazie.
Discutere l'esistenza di soluzioni $x,y,w,z in R$ in un intorno di $0 in R^4$ del sistema non lineare
${ ( e^(z+w)+xy+zwe^(y+z)=1 ),( y+sin(xyz)+cos(xzw)=1 ):}$
Allora. Ammetto di non saperne nulla di sistemi non lineari. Comunque ho provato a risolvere questo sistema prima cercando di approssimare con Taylor ciascuna funzione approssimabile... ma mi veniva un casino e non avevo voglia di fare calcoli.
Allora ho pensato a ridurre il sistema ad una sola equazione $e^(z+w)+xy+zwe^(y+z) - y -sin(xyz)-cos(xzw)=0$ e ho considerato la funzione
$g(x,y,w,z) = e^(z+w)+xy+zwe^(y+z) - y -sin(xyz)-cos(xzw)$.
Mi sono chiesto, l'insieme $M={(x,y,w,z) in R^4 : g(x,y,w,z) = 0}$ è una sottovarietà?
Supposto che il gradiente non si annulli(è ristrettivo supporlo in questo caso? credo di sì...) allora ho una 3-varietà.
Il rango della jacobiana è 1 e quindi la dimensione di M è 3.
Guardate, non so neanche io perchè ho cominciato a pensare in termini di varietà... ma siccome sto imparando ora quest'argomento, mi ci sono avventurato e ho cercato di fare qualcosa di sensato.
Insomma, se calcolo il gradiente(calcolato sia a mano che con Mathematica) viene che
$ nablag(x,y,w,z) = ( ( e^(w + x) + y - yz*cos(x y z) + wz*sin(w x z) ),( -1 + x + e^(y + z) w z - x z*cos(x y z) ),(e^(w + x) + e^(y + z) z + x z *sin(w x z)),( e^(y + z) w + e^(y + z) w z - x y*cos(x y z) + wx*sin(w x z) ) )$
e calcolato in $(0,0,0,0)$
$ nablag(0,0,0,0) = ( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) $
Lo spazio tangente alla varietà $M$ in $(0,0,0,0)$ è il sottospazio vettoriale $V= Span{( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( -1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 1) )}$.
Ora.. è un caso che tutti i punti del tipo $(x,y,w,z)=t( ( -1 ),( 0 ),( 1),( 0 ) )$ e del tipo $(x,y,w,z)=t( ( 0 ),( 0 ),( 0),( 1 ) )$ siano soluzioni del mio sistema? So che quelli che ho appena scritto sono vettori, ma ho notato questa strana coincidenza...
E' una coincidenza o c'è sotto qualcosa che non so?
Ho preso una strada sbagliata o una strada che potrebbe aiutarmi a risolvere il problema?
Grazie.
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