Sistema linerare a 3 incognite e 2 parametri
Salve ragazzi , ho un sistema linerare a 3 incognite e 2 parametri (h,k)....
$\{(hx - 2ky + (k-1)z = 0),((h-1)x -6y +z= 1):}$
Mi viene chiesto per quali coppie di valori il sistema ammette soluzione ed eventualmente determinarle....
Mi ricavo la matrice completa dal sistema : $((h,-2k,k-1,0),(h-1,-6,1,1))$
Da qui inizio ad avere qualche difficoltà....trovo il determinante della matrice dei coefficienti che viene $ 4k-6 $.
Ed è diverso da zero se $ k!= 3/2$ , e quindi la matrice dei coeff. Avrà rango 2 così come il rango della matrice completa ed il sistema sarà compatibile.Poi vado a ricavarmi la x,y in quanto ho due equazioni soltanto , quindi considero anche z come parametro. Va bene come ho ragionato fin qui o sbaglio qualcosa ?
$\{(hx - 2ky + (k-1)z = 0),((h-1)x -6y +z= 1):}$
Mi viene chiesto per quali coppie di valori il sistema ammette soluzione ed eventualmente determinarle....
Mi ricavo la matrice completa dal sistema : $((h,-2k,k-1,0),(h-1,-6,1,1))$
Da qui inizio ad avere qualche difficoltà....trovo il determinante della matrice dei coefficienti che viene $ 4k-6 $.
Ed è diverso da zero se $ k!= 3/2$ , e quindi la matrice dei coeff. Avrà rango 2 così come il rango della matrice completa ed il sistema sarà compatibile.Poi vado a ricavarmi la x,y in quanto ho due equazioni soltanto , quindi considero anche z come parametro. Va bene come ho ragionato fin qui o sbaglio qualcosa ?
Risposte
La matrice dei coefficienti del sistema
è una $2\times3$: come hai fatto a calcolarne il determinante?
$ ((h,-2k,k-1,|, 0),(h-1,-6,1,| ,1)) $
è una $2\times3$: come hai fatto a calcolarne il determinante?
Ho considerato la sotto matrice $((-2k,k-1),(-6,1))$
"Nepler265":
Ho considerato la sotto matrice $((-2k,k-1),(-6,1))$
Ok, però è improprio dire che sia il determinante della matrice dei coefficienti.
Cosa hai preso come minore di ordine $1$?
E' improprio perchè si potrebbero avere altri tipi di determinanti giusto ? In tal caso come dovrei muovermi ?
Al momento ho calcolato le soluzioni nel caso il rango sia $2$ ...La matrice poi avrà sempre rango almeno uguale ad $1$ dato che sono presenti il $-6$ e l'$1$ a prescindere dai valori di h e k ...o sbaglio?
Al momento ho calcolato le soluzioni nel caso il rango sia $2$ ...La matrice poi avrà sempre rango almeno uguale ad $1$ dato che sono presenti il $-6$ e l'$1$ a prescindere dai valori di h e k ...o sbaglio?
"Nepler265":
E' improprio perchè si potrebbero avere altri tipi di determinanti giusto ? In tal caso come dovrei muovermi ?
È improprio perché il determinante è definito per matrice quadrate $n\times n$.
"Nepler265":
Al momento ho calcolato le soluzioni nel caso il rango sia $2$ ...La matrice poi avrà sempre rango almeno uguale ad $1$ dato che sono presenti il $-6$ e l'$1$ a prescindere dai valori di h e k ...o sbaglio?
Giusto
Comunque, scegliendo come minore di ordine uno $\mu_{2,2}=-6$, oltre al minore che già hai preso in considerazione, c'è anche $ ((-2k,h),(-6,h-1)) $.
Quindi devo considerare 2 determinanti ...il primo che già avevo calcolato in precedenza e il determinante della matrice che scritto te...il determinante di quest'ultimo viene $2(hk-3h-k)$ in questo caso però ci sarebbero varie combinazioni di valori di h e k da considerare affinchè il determinante sia diverso da 0....
Esattamente. Per semplificare i calcoli, io farei prima il caso banale per $h=k=0$, poi $h\ne 0 \wedge k=0$, quindi $h=0 \wedge k\ne 0$ e infine $k\ne 0\wedge h\ne 0$.
"Nepler265":
Mi viene chiesto per quali coppie di valori il sistema ammette soluzione ed eventualmente determinarle....
......
Ed è diverso da zero se $ k!= 3/2$
Ti conviene trovare le coppie per cui il sistema NON ha soluzione.
Ciò a cui miri è che il rango della matrice 2x3 sia pari ad 1 (mentre in tutti gli altri casi avrà sempre rango 2).
Ovvero due colonne a piacere devono essere combinazione solo della terza.
Ergo il determinante di due colonne scelte a piacere deve essere =0.
Sei partito dal minore migliore che ti ha consentito di individuare immediatamente $k=3/2$
Sostituiscilo e poni a zero il determinante della prima colonna con una delle altre due..e troverai $h=-1$
Ora se una volta sostituiti k e h trovassi che tutte le colonne sono del tipo (0,a) allora il sistema avrebbe infinite soluzioni per questi due valori e una sola soluzione per qualsiasi altra coppia. Ma questo non accade.
Invece accade che per $h=-1$ e $k=3/2$ la matrice ha rango 1 e tutte le colonne sono del tipo $alpha*(a,b)$ e per nessun valore di $alpha$ possiamo ottenere (0,1), quindi il sistema non ha soluzione.
Capito, potresti spiegarmi perchè "tutte le colonne sono del tipo $α⋅(a,b)$ e per nessun valore di $α$ possiamo ottenere$ (0,1)$" ?
Basta sostituire per vederlo.
Oppure, prima di cominciare a fare anche un solo conto osservi la matrice completa:
$((h,-2k,k-1,0),(h-1,-6,1,1))$
Le prima tre colonne sono un sistema di generatori di $RR^2$ quindi necessariamente si danno due possibilità:
a) la matrice dell'applicazione ha rango 2...perchè non può esserci una base con più di due vettori indipendenti per creare $RR^2$. In questo caso i generatori (o anche solo la base) creano qualsiasi vettore nella quarta colonna (incluso (0,1) )
b) la matrice dell'applicazione ha rango 1, quindi una delle tre colonne a piacere crea le altre due. In questo caso di che tipo saranno i vettori? Tre possibilità:
b1) primo tipo $(0,a)$. E' evidente che tutti e tre non possono essere di questo tipo e anche se lo fossero, ognuno di essi creerebbe (0,1)
b2) secondo tipo (a,0). E' evidente che la seconda e terza colonna hanno sempre la seconda componente diversa da zero, quindi possiamo escludere anche questa possibilità.
b3) del tipo (a,b). E questa possibilità è papabile visto che nessuna combinazione alpha(a,b)=(0,1)$
Per esclusione sapevo già dove guardare ancora prima di cominciare
Quindi sono andato a vedere come hai fatto tu per quale valore di k la seconda e terza colonna sono dipendenti etc etc.
Oppure, prima di cominciare a fare anche un solo conto osservi la matrice completa:
$((h,-2k,k-1,0),(h-1,-6,1,1))$
Le prima tre colonne sono un sistema di generatori di $RR^2$ quindi necessariamente si danno due possibilità:
a) la matrice dell'applicazione ha rango 2...perchè non può esserci una base con più di due vettori indipendenti per creare $RR^2$. In questo caso i generatori (o anche solo la base) creano qualsiasi vettore nella quarta colonna (incluso (0,1) )
b) la matrice dell'applicazione ha rango 1, quindi una delle tre colonne a piacere crea le altre due. In questo caso di che tipo saranno i vettori? Tre possibilità:
b1) primo tipo $(0,a)$. E' evidente che tutti e tre non possono essere di questo tipo e anche se lo fossero, ognuno di essi creerebbe (0,1)
b2) secondo tipo (a,0). E' evidente che la seconda e terza colonna hanno sempre la seconda componente diversa da zero, quindi possiamo escludere anche questa possibilità.
b3) del tipo (a,b). E questa possibilità è papabile visto che nessuna combinazione alpha(a,b)=(0,1)$
Per esclusione sapevo già dove guardare ancora prima di cominciare
Quindi sono andato a vedere come hai fatto tu per quale valore di k la seconda e terza colonna sono dipendenti etc etc.
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