Sistema lineare tosto
Ciao a tutti!
Sono alle prese con questo sistema lineare in un libro di quantistica. Il testo suggerisce di usare Cramer ma ho provato a ragionarci su e mi viene un disastro.
Alla fine della fiera ricava il valore per T e per R.
Sapete come posso fare?
Grazie mille.
\( Ae^{-iqa}+Be^{iqa}-Re^{ika}-e^{-ika}=0 \)
\( Ae^{iqa}+Be^{-iqa}-Te^{ika}=0 \)
\( Aqe^{-iqa}-Bqe^{iqa}+Re^{ika}-ke^{-ika}=0 \)
\( Aqe^{iqa}-Bqe^{-iqa}-Tqe^{ika}=0 \)
Sono alle prese con questo sistema lineare in un libro di quantistica. Il testo suggerisce di usare Cramer ma ho provato a ragionarci su e mi viene un disastro.
Alla fine della fiera ricava il valore per T e per R.
Sapete come posso fare?
Grazie mille.
\( Ae^{-iqa}+Be^{iqa}-Re^{ika}-e^{-ika}=0 \)
\( Ae^{iqa}+Be^{-iqa}-Te^{ika}=0 \)
\( Aqe^{-iqa}-Bqe^{iqa}+Re^{ika}-ke^{-ika}=0 \)
\( Aqe^{iqa}-Bqe^{-iqa}-Tqe^{ika}=0 \)
Risposte
Le variabili sono \(A,B,R\) e \(T\)? Io non userei Cramer. Con Gauss ci metti meno secondo me e forse ti escono cose meno problematiche.
"vict85":
Le variabili sono \(A,B,R\) e \(T\)? Io non userei Cramer. Con Gauss ci metti meno secondo me e forse ti escono cose meno problematiche.
ciao! scusa se ti disturbo ancora.. ma non ne vengo fuori! mi potresti dare un piccolo aiuto?
si la variabili sono quelle ma alla fine nel libro mi da i valori solo di R e T.
grazie mille!
Ok, anche se sono tutt'altro che infallibile con questo tipo di calcolo. Il sistema è questo?
\(\displaystyle \begin{pmatrix} e^{-iqa} & e^{iqa} & -e^{ika} & 0 \\ e^{iqa} & e^{-iqa} & 0 & -e^{ika} \\ qe^{-iqa} & -qe^{iqa} & e^{ika} & 0 \\ qe^{iqa} & -qe^{-iqa} & 0 & -qe^{ika} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}A \\ B \\ R \\ T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-ika} \\ 0 \\ ke^{-ika} \\ 0 \end{pmatrix} \)
Direi che si potrebbe trovare \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle T \) sono in un riga, in modo da poter ricavare \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) comodamente. Sommando la prima e la terza riga ricavo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} e^{-iqa} & e^{iqa} & -e^{ika} & 0 \\ e^{iqa} & e^{-iqa} & 0 & -e^{ika} \\ (1+q)e^{-iqa} & (1-q)e^{iqa} & 0 & 0 \\ qe^{iqa} & -qe^{-iqa} & 0 & -qe^{ika} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}A \\ B \\ R \\ T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-ika} \\ 0 \\ (1+k)e^{-ika} \\ 0 \end{pmatrix} \)
Similmente posso togliere \(q\) volte la seconda riga alla quarta ricavando:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} e^{-iqa} & e^{iqa} & -e^{ika} & 0 \\ e^{iqa} & e^{-iqa} & 0 & -e^{ika} \\ (1+q)e^{-iqa} & (1-q)e^{iqa} & 0 & 0 \\ 0 & -2qe^{-iqa} & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}A \\ B \\ R \\ T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-ika} \\ 0 \\ (1+k)e^{-ika} \\ 0 \end{pmatrix}\)
Quindi mi viene \(\displaystyle B = 0 \), è possibile? In virtù di questo risultato posso eliminare l'intera riga e colonna relativa a B trovando:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} e^{-iqa} & -e^{ika} & 0 \\ e^{iqa} & 0 & -e^{ika} \\ (1+q)e^{-iqa} & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}A \\ R \\ T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-ika} \\ 0 \\ (1+k)e^{-ika} \end{pmatrix} \)
A questo punto si può ricavare \(\displaystyle A \) e da quello \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle T \). A meno di errori ovviamente, cosa che non escludo.
\(\displaystyle \begin{pmatrix} e^{-iqa} & e^{iqa} & -e^{ika} & 0 \\ e^{iqa} & e^{-iqa} & 0 & -e^{ika} \\ qe^{-iqa} & -qe^{iqa} & e^{ika} & 0 \\ qe^{iqa} & -qe^{-iqa} & 0 & -qe^{ika} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}A \\ B \\ R \\ T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-ika} \\ 0 \\ ke^{-ika} \\ 0 \end{pmatrix} \)
Direi che si potrebbe trovare \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle T \) sono in un riga, in modo da poter ricavare \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) comodamente. Sommando la prima e la terza riga ricavo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} e^{-iqa} & e^{iqa} & -e^{ika} & 0 \\ e^{iqa} & e^{-iqa} & 0 & -e^{ika} \\ (1+q)e^{-iqa} & (1-q)e^{iqa} & 0 & 0 \\ qe^{iqa} & -qe^{-iqa} & 0 & -qe^{ika} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}A \\ B \\ R \\ T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-ika} \\ 0 \\ (1+k)e^{-ika} \\ 0 \end{pmatrix} \)
Similmente posso togliere \(q\) volte la seconda riga alla quarta ricavando:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} e^{-iqa} & e^{iqa} & -e^{ika} & 0 \\ e^{iqa} & e^{-iqa} & 0 & -e^{ika} \\ (1+q)e^{-iqa} & (1-q)e^{iqa} & 0 & 0 \\ 0 & -2qe^{-iqa} & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}A \\ B \\ R \\ T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-ika} \\ 0 \\ (1+k)e^{-ika} \\ 0 \end{pmatrix}\)
Quindi mi viene \(\displaystyle B = 0 \), è possibile? In virtù di questo risultato posso eliminare l'intera riga e colonna relativa a B trovando:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} e^{-iqa} & -e^{ika} & 0 \\ e^{iqa} & 0 & -e^{ika} \\ (1+q)e^{-iqa} & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}A \\ R \\ T\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-ika} \\ 0 \\ (1+k)e^{-ika} \end{pmatrix} \)
A questo punto si può ricavare \(\displaystyle A \) e da quello \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle T \). A meno di errori ovviamente, cosa che non escludo.
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