Sistema lineare parametrico
Dato il seguente sistema lineare dipendente dal parametro $ h $:
$ { ( x +hy +z +(h^2 -1)t = h-1 ),( y +z +t = 0 ),( x +hy +z = 0 ):} $
1) Determinare per quali valori di $ h $, il sistema ammette soluzioni.
2) Determinare per quali valori di $ h $, l'insieme delle soluzioni ha dimensione 2.
Il primo punto l'ho già risolto.
Ho trovato i valori per cui il determinante non è zero: $h != 1; h != -1$
Indicando con $hat(A)$ la matrice completa
Per $h=1$, $rg(A) = 2$, $rg(hat(A)) = 3$ quindi NON ammette soluzioni
Per $h = -1$ , $rg(A) = 2$ e sostituendo $h$ ottengo un sistema omogeneo che, per definizione, è sempre risolubile.
Quindi il sistema ammette soluzioni per $h != 1$
Per il secondo quesito, sono un pò nel panico:
la dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo (o non omogeneo) rappresentato da una matrice $A$ di $m$ righe per $n$ colonne, è dato da $n - rg(A)$
Per $h=1$ e $h = -1$ la dimensione delle soluzioni è 2, poichè $n = 4$ ed il rango è 2 in entrambi i casi; ma per il libro l'insieme delle soluzioni ha dimensione 2 solo per $h=-1$
Dove sbaglio?
Ringrazio anticipatamente per le risposte.
$ { ( x +hy +z +(h^2 -1)t = h-1 ),( y +z +t = 0 ),( x +hy +z = 0 ):} $
1) Determinare per quali valori di $ h $, il sistema ammette soluzioni.
2) Determinare per quali valori di $ h $, l'insieme delle soluzioni ha dimensione 2.
Il primo punto l'ho già risolto.
Ho trovato i valori per cui il determinante non è zero: $h != 1; h != -1$
Indicando con $hat(A)$ la matrice completa
Per $h=1$, $rg(A) = 2$, $rg(hat(A)) = 3$ quindi NON ammette soluzioni
Per $h = -1$ , $rg(A) = 2$ e sostituendo $h$ ottengo un sistema omogeneo che, per definizione, è sempre risolubile.
Quindi il sistema ammette soluzioni per $h != 1$
Per il secondo quesito, sono un pò nel panico:
la dimensione dell'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo (o non omogeneo) rappresentato da una matrice $A$ di $m$ righe per $n$ colonne, è dato da $n - rg(A)$
Per $h=1$ e $h = -1$ la dimensione delle soluzioni è 2, poichè $n = 4$ ed il rango è 2 in entrambi i casi; ma per il libro l'insieme delle soluzioni ha dimensione 2 solo per $h=-1$
Dove sbaglio?
Ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
up
Se il sistema è scritto correttamente allora per $h=1 $ il sistema è omogeneo e $r(A)=r(A|b)=2 $ e quindi ci sono soluzioni, esattamente $oo^(4-2)=oo^2 $.