Sistema lineare parametrico!
Ho il seguente sistema lineare:
$\{(x + y - kz = -1),(kz + ky - kz = 0),(kx + 2ky - 3kz = k):}$
Devo risolverlo al variare di k e determinare, qualora sia possibile, l'inversa della matrice incompleta del sistema per k = 2.
Vorrei soffermarmi un attimo sulla discussione.. io ho ragionato così:
Essendo A la matrice completa:
$((1,1,-k),(k,k,-k),(k,2,-3))$
calcolo il suo determinante: $|A| = -3k - k^2 - 2k^2 - (- k^3 - 2k - 3k) = k ( k^2 - 3k + 2)$
adesso devo operare principalmente sul rango, giusto?
dunque ponendo $|A| = 0 $ otterrò i valori di k per i quali il rango è uguale a 2, ossia $ k = 0, k = 2, k = 4$
adesso:
- per $k != 2 V k != 4 $ il sistema avrà rango 3 e dunque ammetterà una sola soluzione (Th. Rouche-Capelli, con n. incognite = rango)
- per k = 0 cosa accade? il sistema è compatibile ($rgA = rgA' = 1$) ma indeterminato. "In teoria" esso dovrebbe ammettere $\infty^2 soluzioni$, ma in pratica le ultime due eq. si annullano ed ottengo l'unica eq. $x+y = -1$. Come operare adesso?
Mi spiace se ho detto una marea di *censored* ahauha, ma sono un po' confusa.. spero possiate aiutarmi
$\{(x + y - kz = -1),(kz + ky - kz = 0),(kx + 2ky - 3kz = k):}$
Devo risolverlo al variare di k e determinare, qualora sia possibile, l'inversa della matrice incompleta del sistema per k = 2.
Vorrei soffermarmi un attimo sulla discussione.. io ho ragionato così:
Essendo A la matrice completa:
$((1,1,-k),(k,k,-k),(k,2,-3))$
calcolo il suo determinante: $|A| = -3k - k^2 - 2k^2 - (- k^3 - 2k - 3k) = k ( k^2 - 3k + 2)$
adesso devo operare principalmente sul rango, giusto?
dunque ponendo $|A| = 0 $ otterrò i valori di k per i quali il rango è uguale a 2, ossia $ k = 0, k = 2, k = 4$
adesso:
- per $k != 2 V k != 4 $ il sistema avrà rango 3 e dunque ammetterà una sola soluzione (Th. Rouche-Capelli, con n. incognite = rango)
- per k = 0 cosa accade? il sistema è compatibile ($rgA = rgA' = 1$) ma indeterminato. "In teoria" esso dovrebbe ammettere $\infty^2 soluzioni$, ma in pratica le ultime due eq. si annullano ed ottengo l'unica eq. $x+y = -1$. Come operare adesso?
Mi spiace se ho detto una marea di *censored* ahauha, ma sono un po' confusa.. spero possiate aiutarmi
Risposte
E' tutto giusto...cosa ti lascia perplessa?
l'equazione $x+y=1$ che hai trovato con $k=0$ si risolve facile.
le soluzioni sono della forma $(t,-t+1,s)$ al variare di $t,s \in RR$ (un piano)
l'equazione $x+y=1$ che hai trovato con $k=0$ si risolve facile.
le soluzioni sono della forma $(t,-t+1,s)$ al variare di $t,s \in RR$ (un piano)
"angus89":
E' tutto giusto...cosa ti lascia perplessa?
l'equazione $x+y=1$ che hai trovato con $k=0$ si risolve facile.
le soluzioni sono della forma $(t,-t+1,s)$ al variare di $t,s \in RR$ (un piano)
beh meno male ahah cmq non capisco la s cosa indichi uhm ! è come se la z in un certo senso "sparisse".. è questo che non capisco!
grazie intanto !!
Scusate se mi intrometto, ma la matrice dei coefficienti non è
[tex]$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -k\\ k & k & -k\\ k & 2k & -3k
\end{array}\right)$[/tex]
e quindi [tex]$\det A=-3k^2-k^2-2k^3-(-k^3-3k^2-2k^2)=-k^3+k^2=k^2(1-k)$[/tex]???
Oppure leggo io troppe $k$ nell'ultima equazione del sistema?
[tex]$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -k\\ k & k & -k\\ k & 2k & -3k
\end{array}\right)$[/tex]
e quindi [tex]$\det A=-3k^2-k^2-2k^3-(-k^3-3k^2-2k^2)=-k^3+k^2=k^2(1-k)$[/tex]???
Oppure leggo io troppe $k$ nell'ultima equazione del sistema?
"ciampax":
Scusate se mi intrometto, ma la matrice dei coefficienti non è
[tex]$A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -k\\ k & k & -k\\ k & 2k & -3k
\end{array}\right)$[/tex]
e quindi [tex]$\det A=-3k^2-k^2-2k^3-(-k^3-3k^2-2k^2)=-k^3+k^2=k^2(1-k)$[/tex]???
Oppure leggo io troppe $k$ nell'ultima equazione del sistema?
sìsì scusatemi ieri ero un po' stanca eheh in ogni caso è tutto giusto tranne che alla fine dovrebbe essere $k^3-k^2 = k^2(k-1)$..
dunque $|A| != 0 hArr k != 0 V k != 1$
- per $k != 1$ il sistema ha rango 3 ed ammette una sola soluzione;
- per $k = 1$ il sistema ha rango 2 ed ammette $\infty^1$ soluzioni;
- per $k = 0$ il sistema ha rango 1.. cosa accade? uhm teoricamente $\infty^2$ soluzioni, con $x + y = -1$.. uhm non mi è chiaro !
Guarda che la matrice ha rango 3 per $k\ne 0,\ k\ne 1$, e quindi il sistema ammette una sola soluzione.
Se $k=1$ le equazioni del sistema diventano
[tex]$\left\{\begin{array}{l}
x+y-z=-1 \\ x+y-z=0 \\ x+2y-3x=-1
\end{array}\right$[/tex]
per cui il sistema risulta incompatibile (le prime due equazioni dicono che $-1=0$).
Infine per $k=0$ il sistema si riduce alla sola equazione $x+y=-1$ per cui lo spazio delle soluzioni è della forma
[tex]$S=\{(-1-t,t,s)\ :\ s,t\in\mathbb{R}\}$[/tex]
e quindi ci sono $\infty^2$ soluzioni.
Se $k=1$ le equazioni del sistema diventano
[tex]$\left\{\begin{array}{l}
x+y-z=-1 \\ x+y-z=0 \\ x+2y-3x=-1
\end{array}\right$[/tex]
per cui il sistema risulta incompatibile (le prime due equazioni dicono che $-1=0$).
Infine per $k=0$ il sistema si riduce alla sola equazione $x+y=-1$ per cui lo spazio delle soluzioni è della forma
[tex]$S=\{(-1-t,t,s)\ :\ s,t\in\mathbb{R}\}$[/tex]
e quindi ci sono $\infty^2$ soluzioni.
"ciampax":
Infine per $k=0$ il sistema si riduce alla sola equazione $x+y=-1$ per cui lo spazio delle soluzioni è della forma
[tex]$S=\{(-1-t,t,s)\ :\ s,t\in\mathbb{R}\}$[/tex]
e quindi ci sono $\infty^2$ soluzioni.
Ti ringrazio molto, l'unica parte che ancora non capisco è proprio questa.. cosa si intende per $S=\{(-1-t,t,s)\ :\ s,t\in\mathbb{R}\}$ ? come ottengo queste soluzioni?
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