Sistema lineare parametrico 5x4?

[Car4691]

Il sistema lineare parametrico con 5 equazioni e 4 incognite è :

\[
\begin{cases}
x&+&z-&t&=&1\\
-x&-&y +&z+&t&=&1\\
2x&+&y +&3z+&4t&=4+k\\
(k-1)x+&y -&z+&t&=1\\
2x+&y+&4z+&(4+k)t&=8\\
\end{cases}
\]

il rango della matrice incompleta può essere al massimo 4,quindi consideriamo la prima 4x4,se il determinante è diverso da 0 il rango è 4 altrimanti dobbiamo considerare l'altra 4x4 e calcolare il determinante.

la 4x4 che ho considerato è:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 3 & 4\\
(k - 1) & 1 & -1 & 1\\
\end{pmatrix}
\]

il suo determinante è -9k+12,quindi k=4/3.
Prima domanda se questo determinante usciva 0,dovevo considerare l'altra 4x4 passante per la stessa 3x3,cioè:


\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 3 & 4\\
2 & 1 & 4 & (4 + k)\\
\end{pmatrix}
\]

che contiene ancora questa 3x3 contenuta nella 4x4 precedente

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1\\
2 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\]


e se anche questo usciva 0 dovevo considerare il determinante della 3x3.
ora procedo con il calcolo del determinante della matrice completa cioe:

\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1 & 1 & 0\\
2 & 1 & 3 & 4 & (4 + k)\\
(k - 1) & 1 & -1 & 1 & 1\\
2 & 1 & 4 & (4 + k) & 8\\
\end{pmatrix}
\]

il suo determinante è:k^3+8k^2-36k+30.
come vediamo questo determinante non si può scomporre,il ke significa (almeno spero ) ke il sistema è incompatibile in quanto il rango della matrice incompleta è diverso da quella completa,quindi per il teorema di rouche-capilli il sistema è incompatibile .
L'ESERCIZIO FINISCE QUA????
inoltre vi voglio fare un'altra domanda,prendendo in considerazione il determinante della prima 4x4,cioè -9k+12, se il determinante della 5x5 usciva uguale,quindi in entrambi i casi k=4\3 il sistema era ancora incompatibile????
secondo me si in quanto per k=4\3 il rango della matrice incompleta è 3 mentre quello della matrice completa sicuramente non è 5,quindi 4,ancora una volta il rango di una e diversa dal rango dell'altra matrice,si procede così oppure mi devo dinuovo calcolare il determinante??????

Grazie anticipate