Sistema lineare OMOGENEO a DUE PARAMETRI. Help!

[Phooka]

Ciao! Come svolgereste questo sistema lineare omogeneo a due parametri?
m=3 equazioni
n=4 incognite

2x + (b+1)y + (b+1)z -3t = 0
2x + 3y + (b+1)z +(a+2)t = 0
-2x +y -z + 4t = 0

grazie!!!

[Lord K]

Ciao a te!

Osserva che il sistema è rappresentabile come:

$((2,b+1,b+1,-3),(2,3,b+1,a+2),(-2,1,-1,4))((x),(y),(z),(t))=((0),(0),(0))$

Basta ridurre la matrice a matrice a gradoni:

$((2,b+1,b+1,-3),(2,3,b+1,a+2),(-2,1,-1,4)) \sim ((2,b+1,b+1,-3),(0,b-2,0,a+5),(0,b+2,b,1)) \sim ((2,b+1,b+1,-3),(0,b-2,0,a+5),(0,0,b,1-(a+5)(b+2)/(b-2)))$

Da qui si discute il rango della matrice e le eventuali soluzioni, ho supposto $b-2!=0$ se così non fosse avrei che la matrice si ridurrebbe a:

$ \sim ((2,3,3,-3),(0,0,0,a+5),(0,4,2,1)) \sim ((2,3,3,-3),(0,4,2,1),(0,0,0,a+5))$

E qui il rango dipende da $a$, se $a!=-5$ allora il rango è $3$ e le soluzioni sono:

${(x=-3/4z_0),(y=-1/2z_0),(z=z_0),(t=0):}$

mentre se $a=-5$ il rango è $2$ e le soluzioni:

${(x=-3/4z_0+3/8t_0),(y=-1/2z_0-1/4t_0),(z=z_0),(t=t_0):}$

Torniamo a questa matrice ed ora che abbiamo $b!=2$:

$((2,b+1,b+1,-3),(0,b-2,0,a+5),(0,0,b,1-(a+5)(b+2)/(b-2)))$

Ci manca solo la valutazione dell'ultima riga, se fosse infatti $b=0$ e $a=-6$ il rango sarebbe $2$ con soluzioni:

${(x=-7/4t_0-z_0),(y=-1/2t_0),(z=z_0),(t=t_0):}$

In tutti gli altri casi invece il rango è $3$ e le soluzioni sono:

${(x=1/2[gamma/b +3 - (b+1)(a+5)/(b-2)]t_0),(y=(a+5)/(b-2)t_0),(z=-gamma/b t_0),(t=t_0):}$

dove:

$gamma=1-(a+5)(b+2)/(b-2)$

A meno di errori di calcolo dovremmo esserci!