Sistema lineare l variare di un parametro reale
Studiare il seguente sistema lineare al variare del parametro reale $k$
$\{(x+(k-6)y+z=1), (2y-z=k), (x+k^2y-2z=k+1):}$
Prima di tutto ho calcolato il determinante della matrice completa (non la scrivo perchè a quanto pare MathML non fa visualizzare bene le matrici diverse dalle 3x3) che mi viene
$k^2-k-12$
Dunqe:
- per $k!=4$ e $k!=-3$ il rango della matrice è 3 e quindi ha soluzioni poichè coincide col rango della sua matrice incompleta (senza i termini noti).
Nel caso, invece, in cui k corrispondesse ai due valori sopra citati?
$\{(x+(k-6)y+z=1), (2y-z=k), (x+k^2y-2z=k+1):}$
Prima di tutto ho calcolato il determinante della matrice completa (non la scrivo perchè a quanto pare MathML non fa visualizzare bene le matrici diverse dalle 3x3) che mi viene
$k^2-k-12$
Dunqe:
- per $k!=4$ e $k!=-3$ il rango della matrice è 3 e quindi ha soluzioni poichè coincide col rango della sua matrice incompleta (senza i termini noti).
Nel caso, invece, in cui k corrispondesse ai due valori sopra citati?
Risposte
@Prostaferesi,
sbaglio o nella terza equazione manca un simbolo!
Saluti
"Prostaferesi":
Studiare il seguente sistema lineare al variare del parametro reale $k$
$\{(x+(k-6)y+z=1), (2y-z=k), (x*k^2y-2z=k+1):}$
Prima di tutto ho calcolato il determinante della matrice completa (non la scrivo perchè a quanto pare MathML non fa visualizzare bene le matrici diverse dalle 3x3) che mi viene
$k^2-k-12$
Dunqe:
- per $k!=4$ e $k!=-3$ il rango della matrice è 3 e quindi ha soluzioni poichè coincide col rango della sua matrice incompleta (senza i termini noti).
Nel caso, invece, in cui k corrispondesse ai due valori sopra citati?
sbaglio o nella terza equazione manca un simbolo!
Saluti
"garnak.olegovitc":
sbaglio o nella terza equazione manca un simbolo!
Si, mancava un $+$, adesso ho corretto!
@Prostaferesei,
tu hai il sistema $$ \Sigma:=\begin{cases}
x+(k-6)y+z=1\\
2y-z=k\\
x+k^2y-2z=k+1
\end{cases} $$ la matrice completa del sistema \( \Sigma \) è $$ A|b_\Sigma:=\begin{Vmatrix}
1 & k-6& 1 & 1\\
0 & 2& -1 & k\\
1 & k^2 & -2& k+1
\end{Vmatrix}$$ mentre quella incompleta è $$ A_\Sigma:=\begin{Vmatrix}
1 & k-6& 1\\
0 & 2& -1\\
1 & k^2 & -2&
\end{Vmatrix}$$ tu hai scritto:
mi sa che ti riferivi a quella incompleta \( A_\Sigma \), non esiste il determinante a livello di definizione di matrici rettangolari... e cmq il determinante di \( A_\Sigma \) è $$ det(A_\Sigma)=k^2 - 4 - k +4=k^2-k=k(k-1) $$ esso è non nullo, ovvero $$ k(k-1)\neq 0 \leftrightarrow k \neq 0 \wedge k \neq 1 $$ e se è non nullo allora il rango di \( rnk(A_\Sigma)=3=rnk(A|b_\Sigma) \), basta solo dire in questo caso che è il sistema è Crameriano ed ammette soluzioni uniche date dalla regola di Cramer.. invece avremo $$det(A_\Sigma)=0 \leftrightarrow k = 0 \vee k = 1 $$ e devi analizzare per casi cosa succede alla matrice completa e incompleta e dedurre le (eventuali) soluzioni applicando il teorema di Rouchè-Capelli
Prova tu!
Saluti
"Prostaferesi":
Studiare il seguente sistema lineare al variare del parametro reale $k$
$\{(x+(k-6)y+z=1), (2y-z=k), (x+k^2y-2z=k+1):}$
Prima di tutto ho calcolato il determinante della matrice completa (non la scrivo perchè a quanto pare MathML non fa visualizzare bene le matrici diverse dalle 3x3) che mi viene
$k^2-k-12$
Dunqe:
- per $k!=4$ e $k!=-3$ il rango della matrice è 3 e quindi ha soluzioni poichè coincide col rango della sua matrice incompleta (senza i termini noti).
Nel caso, invece, in cui k corrispondesse ai due valori sopra citati?
tu hai il sistema $$ \Sigma:=\begin{cases}
x+(k-6)y+z=1\\
2y-z=k\\
x+k^2y-2z=k+1
\end{cases} $$ la matrice completa del sistema \( \Sigma \) è $$ A|b_\Sigma:=\begin{Vmatrix}
1 & k-6& 1 & 1\\
0 & 2& -1 & k\\
1 & k^2 & -2& k+1
\end{Vmatrix}$$ mentre quella incompleta è $$ A_\Sigma:=\begin{Vmatrix}
1 & k-6& 1\\
0 & 2& -1\\
1 & k^2 & -2&
\end{Vmatrix}$$ tu hai scritto:
"Prostaferesi":
Prima di tutto ho calcolato il determinante della matrice completa
mi sa che ti riferivi a quella incompleta \( A_\Sigma \), non esiste il determinante a livello di definizione di matrici rettangolari... e cmq il determinante di \( A_\Sigma \) è $$ det(A_\Sigma)=k^2 - 4 - k +4=k^2-k=k(k-1) $$ esso è non nullo, ovvero $$ k(k-1)\neq 0 \leftrightarrow k \neq 0 \wedge k \neq 1 $$ e se è non nullo allora il rango di \( rnk(A_\Sigma)=3=rnk(A|b_\Sigma) \), basta solo dire in questo caso che è il sistema è Crameriano ed ammette soluzioni uniche date dalla regola di Cramer.. invece avremo $$det(A_\Sigma)=0 \leftrightarrow k = 0 \vee k = 1 $$ e devi analizzare per casi cosa succede alla matrice completa e incompleta e dedurre le (eventuali) soluzioni applicando il teorema di Rouchè-Capelli
Prova tu!
Saluti
"garnak.olegovitc":
invece avremo $$det(A_\Sigma)=0 \leftrightarrow k = 0 \vee k = 1 $$ e devi analizzare per casi cosa succede alla matrice completa e incompleta e dedurre le (eventuali) soluzioni
Quindi considerando i minori di ordine 2?
@Prostaferesi,
Quindi considerando i minori di ordine 2?[/quote]
sai calcolare il rango di una matrice?! In questo caso se non è \( 3 \) allora sarà alpiù minore o uguale a \(2 \)...
Saluti
"Prostaferesi":
[quote="garnak.olegovitc"]invece avremo $$det(A_\Sigma)=0 \leftrightarrow k = 0 \vee k = 1 $$ e devi analizzare per casi cosa succede alla matrice completa e incompleta e dedurre le (eventuali) soluzioni
Quindi considerando i minori di ordine 2?[/quote]
sai calcolare il rango di una matrice?! In questo caso se non è \( 3 \) allora sarà alpiù minore o uguale a \(2 \)...
Saluti
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