Sistema lineare in funzione di un parametro

[principe221]

ciao ragazzi scusate se nello scrivere questo argomento infrango qualche regola del forum ma sono nuovo ed è gia possibile che abbia sbagliato perche già questo argomento esisteva, ma purtroppo non sono riuscito a trovarlo, o almeno a trovarne uno che mi aiutasse a risolvere questo in particolare.
mi sono imbattuto in questo esercizio :

Stabilire per quali valori del parametro t il sistema ammette esattamente una soluzione

x + 2y = t
2x + ty = 1
3x + (2t − 2)y = 0

ora, io credo che per risolvere tale sistema bisogni prima fare rouchè- capelli e a seconda se è determinato o indeterminato usare un tipo di metodo.. il problema è che non capisco quale! e non capisco nemmeno se in sistemi di questo genere si possa utilizzare questo teorema.
insomma mi potreste spiegare passo a passo cosa dovrei fare? perchè mi capitano spesso di questo tipo... grazie..

[lordb]

Il sistema è :
${(x+2y=t),(2x+ty=1),(3x+(2t-2)y=0):}$

Costruisci la matrice incompleta e quella completa:

$A=((1,2),(2,t),(3,2t-2))$ $C=((1,2,t),(2,t,1),(3,2t-2,0))$

Innanzi tutto vedi che $AinM(3x2)(R)$ e $CinM(3x3)(R)$ quindi $rank(A)<=2 , rank(C)<=3$

Puoi moltiplicare la seconda riga per $-2$:

$A=((1,2),(-4,-2t),(3,2t-2))$ $C=((1,2,t),(-4,-2t,-2),(3,2t-2,0))$

Sommi la seconda riga alla terza:

$A=((1,2),(-4,-2t),(-1,-2))$ $C=((1,2,t),(-4,-2t,-2),(-1,-2,-2))$

Ok, ora continua tu... (il sistema ammette soluzioni se e solo se $rank(A)=rank(C)$).