Sistema lineare dipendente da 2 parametri
studiare la risolubilità del sistema al variare dei valori $ h,k $ appartenenti ad $ R $
$\{(3x+(k-1)y+4z+2j=h),(x-y-2z=0),(2x+y+z+j=k-1):}$
A questo punto faccio il determinante della $1,2,3$ colonna ed ottengo $ k=4 $ quindi e se pongo $ k=4 $ e faccio il determinante di $2,4,5$ colonna ottengo $h=6$... sinceramente non so come discutere le soluzioni al variare di questi parametri.. qualcuno puo aiutarmi?
$\{(3x+(k-1)y+4z+2j=h),(x-y-2z=0),(2x+y+z+j=k-1):}$
A questo punto faccio il determinante della $1,2,3$ colonna ed ottengo $ k=4 $ quindi e se pongo $ k=4 $ e faccio il determinante di $2,4,5$ colonna ottengo $h=6$... sinceramente non so come discutere le soluzioni al variare di questi parametri.. qualcuno puo aiutarmi?
Risposte
Hai provato ad usare il teorema di Rouchè-Capelli che stabilisce quando un sistema ammette soluzioni?
Dovresti, in sintesi, calcolare il rango della matrice omogenea e poi il rango della matrice completa dei termini noti e vedere se sono uguali.
Ti ritroverai sicuramente con un'equazione in h e k e da lì potrai analizzare i vari casi.
Non so se il mio ragionamento è corretto, io mi approccerei al problema così.
Ciao.
Dovresti, in sintesi, calcolare il rango della matrice omogenea e poi il rango della matrice completa dei termini noti e vedere se sono uguali.
Ti ritroverai sicuramente con un'equazione in h e k e da lì potrai analizzare i vari casi.
Non so se il mio ragionamento è corretto, io mi approccerei al problema così.
Ciao.
allora diciamo che ho letto un po' di cose ma non mi sono molto chiare.. vediamo se il mio ragionamento è corretto:
innanzitutto parto dal presupposto che il rango è $<= 3$.. se faccio il determinante di $ 1,2,3 $ colonna ottengo $ k=4 $ quindi ponendo $ k=4 $ avrei che il rango della matrice incompleta è $2$ per il teorema degli orlati... mentre il rango della matrice completa dipende da $ h $... Se $ h=6 $ il rango della matrice completa è 2 (quindi avro infinito alla uno soluzioni).. se $ h != 6 $ ho che il rango della matrice completa è 3 (quante soluzioni ho?).
Adesso ponendo $ k != 4 $ avrò il rango della matrice incompleta uguale a $3$... e di conseguenza il rango della matrice completa sarà sicuramente $3$ per qualsiasi valore di $h$ poichè basta riprendere la stessa matrice con che mi ha dato rango $3$ (quindi avrò infinito alla zero soluzioni)..
manca qualcosa nel mio ragionamento?
innanzitutto parto dal presupposto che il rango è $<= 3$.. se faccio il determinante di $ 1,2,3 $ colonna ottengo $ k=4 $ quindi ponendo $ k=4 $ avrei che il rango della matrice incompleta è $2$ per il teorema degli orlati... mentre il rango della matrice completa dipende da $ h $... Se $ h=6 $ il rango della matrice completa è 2 (quindi avro infinito alla uno soluzioni).. se $ h != 6 $ ho che il rango della matrice completa è 3 (quante soluzioni ho?).
Adesso ponendo $ k != 4 $ avrò il rango della matrice incompleta uguale a $3$... e di conseguenza il rango della matrice completa sarà sicuramente $3$ per qualsiasi valore di $h$ poichè basta riprendere la stessa matrice con che mi ha dato rango $3$ (quindi avrò infinito alla zero soluzioni)..
manca qualcosa nel mio ragionamento?
Ciao, scusa per il ritardo nella risposta ma essendo periodo di esami lo stress è alle stelle! 
Il tuo è un sistema di 3 equazioni in 4 variabili. Applicando il Teorema di Rouchè Capelli, sappiamo che per capire se il sistema ammette soluzioni dobbiamo studiare il rango.
Lo dici perchè abbiamo 3 righe e 4 colonne quindi, essendo il rango il minore tra questi due numeri potrebbe essere massimo 3. Ed è giusto.
Tornando al nostro problema, abbiamo una matrice non quadrata quindi per calcolare il rango dobbiamo usare il metodo degli orlati.
Il ragionamento che ho seguito io è il seguente (spero sia corretto):
1. prima mi calcolo il rango della matrice senza considerare la colonna dei termini noti, in questo caso mi trovo con 4 colonne e 3 righe. Posso evitare di scegliere la colonna che ha il termine in k così mi evito di escludere i valori di k che mi annullano il determinante. Così facendo allora vedo che il rango ha valore 3.
2. ripeto il discorso del punto 1 anche nel caso della matrice completa. Sappiamo che il massimo rango può essere 3 quindi due colonne dovranno rimanere fuori nel calcolo, posso scegliere quindi le due che contengono i parametri.
A questo punto allora il rango delle due matrici è uguale ma abbiamo un numero superiore di incognite. Il sistema sarà quindi indeterminato e possiamo usare una variabile come libera e scrivere le altre in relazione a questa.
Spero di essere stata chiara, in ogni caso nel forum puoi consultare questa pagina ben fatta!
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=79095 (probabilmente l'hai già fatto
).
Buono studio!
Il tuo è un sistema di 3 equazioni in 4 variabili. Applicando il Teorema di Rouchè Capelli, sappiamo che per capire se il sistema ammette soluzioni dobbiamo studiare il rango.
"antonio2194":
innanzitutto parto dal presupposto che il rango è $<= 3$..
Lo dici perchè abbiamo 3 righe e 4 colonne quindi, essendo il rango il minore tra questi due numeri potrebbe essere massimo 3. Ed è giusto.
Tornando al nostro problema, abbiamo una matrice non quadrata quindi per calcolare il rango dobbiamo usare il metodo degli orlati.
Il ragionamento che ho seguito io è il seguente (spero sia corretto):
1. prima mi calcolo il rango della matrice senza considerare la colonna dei termini noti, in questo caso mi trovo con 4 colonne e 3 righe. Posso evitare di scegliere la colonna che ha il termine in k così mi evito di escludere i valori di k che mi annullano il determinante. Così facendo allora vedo che il rango ha valore 3.
2. ripeto il discorso del punto 1 anche nel caso della matrice completa. Sappiamo che il massimo rango può essere 3 quindi due colonne dovranno rimanere fuori nel calcolo, posso scegliere quindi le due che contengono i parametri.
A questo punto allora il rango delle due matrici è uguale ma abbiamo un numero superiore di incognite. Il sistema sarà quindi indeterminato e possiamo usare una variabile come libera e scrivere le altre in relazione a questa.
Spero di essere stata chiara, in ogni caso nel forum puoi consultare questa pagina ben fatta!
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=37&t=79095 (probabilmente l'hai già fatto
).Buono studio!
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