Sistema lineare di tre equazioni con parametro
Avrei un dubbio!
Ho questo sistema:
$ax+by=2z$
$(x-y)/(a-b)+z/(ab)=0$
$a(z+x)=a+1$
Dopo aver stabilito le $C.E.: a !=b^^a!=0^^b!=0$
riducendolo a forma normale arrivo a:
$ax+by-2z=0$
$abx-aby+z(a-b)=0$
$az+ax=a+1$
Il determinante della matrice incompleta ottenuta dopo i calcoli è $-ab(a+1)(a+b)$; per cui, considerando le condizioni di esistenza, per
$a!=-1^^a!=-b$ il sistema ha un'unica soluzione.(Dovrebbe essere così!)
Il dubbio è questo per $a=-1^^a=-b$ come si deve procedere per analizzare il sistema?
Grazie
Ho questo sistema:
$ax+by=2z$
$(x-y)/(a-b)+z/(ab)=0$
$a(z+x)=a+1$
Dopo aver stabilito le $C.E.: a !=b^^a!=0^^b!=0$
riducendolo a forma normale arrivo a:
$ax+by-2z=0$
$abx-aby+z(a-b)=0$
$az+ax=a+1$
Il determinante della matrice incompleta ottenuta dopo i calcoli è $-ab(a+1)(a+b)$; per cui, considerando le condizioni di esistenza, per
$a!=-1^^a!=-b$ il sistema ha un'unica soluzione.(Dovrebbe essere così!)
Il dubbio è questo per $a=-1^^a=-b$ come si deve procedere per analizzare il sistema?
Grazie
Risposte
"marcus112":
Il dubbio è questo per $a=-1^^a=-b$ come si deve procedere per analizzare il sistema?
per i 2 casi:
- $a=-b!=-1$
$a=-1$[/list:u:aoyye6l7]
devi calcolare il rango della matrice completa dato che nei 2 casi il rango di quella incompleta è 2.
poi discuti il sistema con rouche-capelli.
ho notatao che sostituendo ad $a$ il valore $-1$ il sistema diventa omogeneo con il determinante uguale a $0$ per cui il sistema ha
$oo^1$.
Chiedo però un vostro parere!
$oo^1$.
Chiedo però un vostro parere!
"marcus112":
ho notatao che sostituendo ad $a$ il valore $-1$ il sistema diventa omogeneo con il determinante uguale a $0$ per cui il sistema ha
$oo^1$.
Chiedo però un vostro parere!
Si d'accordo ma non dimenticarti che devi vincolare anche b!
Se $A$ è la matrice completa del tuo sistema
$ A = ( ( a , b , -2 ),( ab , -ab , a-b ),( a , 0 , a ) ) $ $ ( ( 0 ),( 0 ),( a+1 ) ) $
e $S$ la sua riduzione a scalini (controlla anche tu
)$ S= ( ( a , b , -2 ),( 0 , -b(a+b) , a+b ),( 0 , 0 , a+1 ) ) $ $ ( ( 0 ),( 0 ),( a+1 ) ) $
allora gli spazi delle soluzioni di A e S coincidono.
Ricordandoci delle condizioni d'esistenza e col Teorema di Rouchè-Capelli alla mano basta procedere con ordine :
Primo caso , $a != -b $ :
Se $a=-1$ allora lo spazio delle soluzioni ($ V$) ha dimensione 1, cioè hai $ (oo)^(1) $ soluzioni.
se invece $a != -1$ la matrice incompleta ha rango massimo e diventa una matrice non singolare, per cui esiste un'unica soluzione.
Secondo caso , $ a = -b$ :
Se $a != -1 -> dim(V) =1$
Se $a=-1$ , e qui arriviamo al tuo dubbio, prova ad effettuare le sostituzioni con questi vincoli e vedrai che $dim (V) = 2$ , cioè hai $(oo)^(2)$ soluzioni.
Degno di nota è il fatto che il sistema sia sempre compatibile...
"Pazzuzu":
Secondo caso , $ a = -b$ :
Se $a=-1$ , e qui arriviamo al tuo dubbio, prova ad effettuare le sostituzioni con questi vincoli e vedrai che $dim (V) = 2$ , cioè hai $(oo)^(2)$ soluzioni.
no.
anche nel caso $a=-b=-1$ si hanno $oo^1$ soluzioni.
infatti, tenuto conto delle condizioni di esistenza, è sempre possibile estrarre dalla matrice incompleta un minore di ordine 2
(ad esempio ${r_1,r_3}nn{c_2,c_3}$)
quindi al massimo le soluzioni possono essere $oo^(n-r)=oo^(3-2)=oo^1$
byob12 è vero anche nel caso di $a= -1$ e $a = -b$ il rango di $a$ è 2. Eppure se imposti questi vincoli la matrice $S$ ha rango 1,la ricontrollo ovviamente (in ogni caso avevo detto a marcus112 di controllare, proprio come insegna Abate 
).
).
non so che sia la matrice $S$...io calcolo il rango e poi uso il teorema di rouche-capelli (che non mi risulta avere limiti di validita). quindi dato che la matrice ha rango 2 e che è un sistema omogeneo...le soluzioni non possono che essere $oo^1$
non so che metodo usi tu...prova a rifarti i conti...
le soluzioni nel caso $a=-b=-1$ sono: $<[[1],[-1],[-1]]>$
non so che metodo usi tu...prova a rifarti i conti...
le soluzioni nel caso $a=-b=-1$ sono: $<[[1],[-1],[-1]]>$
Bastava leggere il mio post qualche riga più su, con $S$ ho indicato la riduzione a gradini della matrice completa associata al sistema...
Ho analizzato il sistema e sono arrivato a questa conclusione:
Anche nel caso $a=-b=-1$ si hanno $oo^1$ soluzioni, perchè il sistema è sempre omogeneo e quindi si ha $oo^1$ soluzioni.
Con $a=-b!=-1$ il sistema non è omogeneo ma essendo sia la matrice completa che quella incompleta di rango $2$ per il teorema di rouche-capelli il numero delle soluzioni è $oo^(n-2)$ per cui essendo le incognite del sistema $3$ e il rango $2$ ottengo $oo^(3-2)$
quindi $oo^1$ soluzioni.
Sono d'accordo quindi con Byob12 e ringrazio per la collaborazione pazzuzu
Chiedo un parere sul mio ragionamento per poter migliorare.
Anche nel caso $a=-b=-1$ si hanno $oo^1$ soluzioni, perchè il sistema è sempre omogeneo e quindi si ha $oo^1$ soluzioni.
Con $a=-b!=-1$ il sistema non è omogeneo ma essendo sia la matrice completa che quella incompleta di rango $2$ per il teorema di rouche-capelli il numero delle soluzioni è $oo^(n-2)$ per cui essendo le incognite del sistema $3$ e il rango $2$ ottengo $oo^(3-2)$
quindi $oo^1$ soluzioni.
Sono d'accordo quindi con Byob12 e ringrazio per la collaborazione pazzuzu
Chiedo un parere sul mio ragionamento per poter migliorare.
@Pazzuzu
ovvio che avevo letto il post
quando dico non so cosa sia la matrice $S$ significa che non so che sia la riduzione a scalini...cioe ho vaghi ricordi...è un metodo che non ho mai usato...mi trovo comodissimo con rouche-capelli (che non ha limiti di validita per i sistemi lineari e quindi non intendo imparare o ri-imparare altri metodi ora)
questo per dire che se avevi fatto un errore di certo non sarei in grado di trovarlo, quindi ti ho suggerito di ricontrollare i conti.
ovvio che avevo letto il post
quando dico non so cosa sia la matrice $S$ significa che non so che sia la riduzione a scalini...cioe ho vaghi ricordi...è un metodo che non ho mai usato...mi trovo comodissimo con rouche-capelli (che non ha limiti di validita per i sistemi lineari e quindi non intendo imparare o ri-imparare altri metodi ora)
questo per dire che se avevi fatto un errore di certo non sarei in grado di trovarlo, quindi ti ho suggerito di ricontrollare i conti.
D'accordo byob12 allora ci siamo solo capiti male La riduzione a scalini è semplicemente l'algoritmo di Gauss trasportato su matrici non quadrate, tutto qui..Ho ricontrollato i conti e la matrice che ho proposto è corretta, semplicemente non funziona per il caso $a=-b$ perchè per trasformare la matrice inziale nella sua riduzione a gradini ho dovuto dividere qualche riga per $(a+b)$ e per forza di cose ho dovuto supporre $a!=-b$.. Quindi si, per il caso $a=-b$ conviene tornare alla matrice iniziale e sostituire..Dovrò usare qualche altro metodo per la risoluzione dei sistemi lineari perchè ormai mi sto accorgendo che questo che uso tutt'ora ha troppe limitazioni quando è coinvolto più di un parametro..Bisogna avere una buona esperienza per riconoscere quando è più veloce calcolare il determinante o quando invece si fa prima a ridurre a scalini, spero di farmela col tempo 
La riduzione a scalini è semplicemente l'algoritmo di Gauss trasportato su matrici non quadrate, tutto qui..Ho ricontrollato i conti e la matrice che ho proposto è corretta, semplicemente non funziona per il caso $a=-b$ perchè per trasformare la matrice inziale nella sua riduzione a gradini ho dovuto dividere qualche riga per $(a+b)$ e per forza di cose ho dovuto supporre $a!=-b$.. Quindi si, per il caso $a=-b$ conviene tornare alla matrice iniziale e sostituire..Dovrò usare qualche altro metodo per la risoluzione dei sistemi lineari perchè ormai mi sto accorgendo che questo che uso tutt'ora ha troppe limitazioni quando è coinvolto più di un parametro..Bisogna avere una buona esperienza per riconoscere quando è più veloce calcolare il determinante o quando invece si fa prima a ridurre a scalini, spero di farmela col tempo
Chiedevo conferma di quanto ho scritto nel precedente post.
Comunque grazie per la collaborazione.
Comunque grazie per la collaborazione.
"marcus112":
Chiedevo conferma di quanto ho scritto nel precedente post.
Comunque grazie per la collaborazione.
Marcus il tuo ragionamento è corretto e ti era già stato confermato da byob
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