Sistema lineare con un parametro..

[xab1]

ciao a tutti ho bisogno di una mano.
ho questo sistema 3x3 (nn riesco a metterli insieme ma parentesi graffa è una sola) con parametro =t
${(-tx+(t-1)y+z=1$
${(t-1)y+tz=1}$
${2x+z=5}$

come primo procedimento sviluppo la matrice delle incognite (mi scuso ancora per nn riuscire a metterlo graficamente in ordine, comunque penso rendi l'idea)
quindi
$A$
$-t+(t-1)+ 1$
$0+(t-1)+t$
$2+0+1$

questa è una matrice 3x3 per cui il rango è $<=3$


sviluppo la matrice completa
$Ac$

$-t+(t-1)+ 1+1$
$0+(t-1)+t+1$
$2+0+1+5$

Ora sviluppo il determinante..utilizzando il metodo di Sarrus (quello di Gauss nn lo facciamo per cui sarebbe meglio evitare)

riporto la matrici delle incognite aggiungendo le prime due colonne
$(-t+(t-1)+ 1)-t+(t-1)$
$(0+(t-1)+t)+0+(t-1)$
$(2+0+1)+2+0$

sviluppandolo il determinante mi esce
$t = 2$
$t=1$

ora per tutti i valori tranne 2 e 1 (ossia i valori per cui il determinante si annulla)
il rango è 3

mentre per i valori 2 e 1 ho un dubbio
sostituisco prima 1 alla matrice delle incognite
ottenendo
$-1+0+1$
$0+0+1$
$2+0+1$

il passaggio successivo quale sarebbe??
mi costruisco una matrice 2x2 e trovo il rango?

grazie ancora

[_prime_number]

Non si capisce davvero niente. Prenditi 15 minuti per leggere come si scrivono le formule.

Paola

[Thyeme]

Invece di tutti questi passaggi non puoi utilizzare l algoritmo di Gauss per ridurti la matrice completa a scala e poi discutere le soluzioni al variare del parametro $t$?

[Thyeme]

Lo puoi fare così quindi..

La matrice ridotta a scala è $A = ((2,0,1,5),(-t, 0, 1-t, 0),(0, t-1, t, 1))$

Ora quindi si vede che per $t=0$ le soluzioni sono $((5/2),(-1),(0))$;

Per $t=1$ il sistema diventa $((1,0,0,0),(0,0,1,1),(0,0,0,4))$ quindi per Rouchè-Capelli questo sistema non ha soluzione.

Infine per $ t != 1$ le soluzioni sono $(((5-5t)/(2-t)), ( (-5t^2-t+2)/((2-t)(t-1))), (5t/(2-t)))$

e da qui si vede subito che le soluzione per $t=0$ sono verificate!

inoltre si vede subito che il sistema non ha soluzione anche per $t=2$