Sistema lineare con parametro "a"

[Antonio015]

Ho sviluppato questo esercizio ma ho un dubbio sul suo risultato:

<< Discutere e risolvere, al variare di $a in R$ il sistema lineare

$\{(-15x - y + (a-1)z = 0),((1-a)x + 2y = 0),(y-2z-a = 0),(x+ay-z = 0):}$ >>

Per prima cosa ho eliminato la terza equazione del sistema, in quanto il rango massimo che è possibile raggiungere sia nella matrice completa che incompleta è 3 (mentre le equazioni del sistema sono 4).

Dopodichè ho calcolato il rango della matrice completa $A$ e di quella incompleta $A^c$, trovando che:

$r(A)=r(A^c)=2$ per $a=3$ ------> in questo caso avrò $\infty^1$ soluzioni

$r(A)=r(A^c)=3$ per $a!=3$ -----> in questo caso avrò un'unica soluzione, ma dato che si tratta di un sistema omogeno, la soluzione sarà banale $x=(0,0,0)$

La mia domanda è questa (sempre se fino a dove sono arrivato il procedimento è esatto):
l'esercizio termina qui o c'è qualcos'altro che dovrei continuare a fare?

[cirasa]

"Antonio01":Per prima cosa ho eliminato la terza equazione del sistema, in quanto il rango massimo che è possibile raggiungere sia nella matrice completa che incompleta è 3 (mentre le equazioni del sistema sono 4).

Sarebbe troppo facile così

Non puoi non tenere conto di un'equazione! Per esempio per $a=2$, tu dici che si ha un'unica soluzione, quella nulla, che però non verifica la terza equazione!

Il metodo è sempre lo stesso: usare il teorema di Rouchè-Capelli.
Il sistema è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa (coefficienti + termini noti).
Nota che puoi calcolare il rango di una matrice $3\times 4$ (certo, come dici tu, sarà al più $3$). Il problema è che, per qualche valore di $a$, il rango della matrice completa potrebbe essere $4$, non è vero che è al più $3$!

[Antonio015]

Ok grazie
Esercizio risolto