Sistema lineare con parametro

[Oscar19]

Ciao ragazzi....
Ho svolto questo sistema....
$\{( y + z = k),(2x+3y+ 7z = 5),(x -3y-z = -2):}$

Se calcolo il determinante con Sarrus (riguarda solo la matrice incompleta....quindi senza k nei calcoli ) mi viene

$detA=15!=0$

Dove k può avere qualsiasi valore....
Il sistema è determinato.....

invece il prof mi ha detto che k=1
Ora ciò provato ma se faccio l 'E G mi da questo....
Mi sto confondendo.mi aiutate...vi prego mi spiegate passo passo....
Grazie a chi legge e a chi mi aiuta

[Bokonon]

"Oscar19":Ciao ragazzi....
Ho svolto questo sistema....
$\{( y + z = k),(2x+3y+ 7z = 5),(x -3y-z = -2):}$

Se calcolo il determinante con Sarrus (riguarda solo la matrice incompleta....quindi senza k nei calcoli ) mi viene

$detA=15!=0$

Dove k può avere qualsiasi valore....
Il sistema è determinato.....

invece il prof mi ha detto che k=1
Ora ciò provato ma se faccio l 'E G mi da questo....
Mi sto confondendo.mi aiutate...vi prego mi spiegate passo passo....
Grazie a chi legge e a chi mi aiuta

Corretto! Se il determinante fosse diverso da zero ci sarebbe comunque un'unica soluzione per qualsiasi valore di k...ma il determinante è zero.

$ ( ( 0 , 1 , 1 , k ),( 2 , 3 , 7 , 5 ),( 1 , -3 , -1 , -2 ) ) rarr ( ( 0 , 1 , 1 , k ),( 0 , 0 , 0 , k-1 ),( 1 , 0 , 2 , 3k-2 ) ) $

Prova ad operare la stessa riduzione e vedi se ci riesci.
Poi commentala...almeno si capisce cosa non capisci e ti posso aiutare.

[Oscar19]

Grazie ancora per la tua risposta ...
Hai ragione...la fretta è una cattiva consigliera....o forse la stanchezza

Il det mi viene anche a me uguale a zero....facendolo con Sarrus
Quindi posso dire che il rango di A < di n ....opero con l'E.G. sulla matrice completa per determinante i ranghi in modo da ottenere una matrice triangolare superiore
Io opero spostando le prime due righe e poi faccio operazione di sottrazioni/moltiplicazione e mi viene

$((2,3,7,5),(0,1,1,k),(0,0,0,k-1))$

In questo modo verifico entrambi i ranghi....
Noto che il rgA=2 e rgB=3
Ottengo così che $rgA!=rgB$

È giusto così? Ho sbaglio ancora...?
Se è giusto allora per Rouche-Capelli il sistema è impossibile......????

[Bokonon]

"Oscar19":
In questo modo verifico entrambi i ranghi....
Noto che il rgA=2 e rgB=3
Ottengo così che $rgA!=rgB$

È giusto così? Ho sbaglio ancora...?
Se è giusto allora per Rouche-Capelli il sistema è impossibile......????

E vedi ancora l'affermazione in rosso se k=1?
C'è una riga di zeri = k-1, quindi $k-1=0$......

[Oscar19]

Ok ho capito cosa vuoi dirmi....
Io considerato le due matrici in modo separato ...anche se facevo l'E.G. perché metto la riga per separarle....
Allora si è vero quello che tu dici k=1
Quindi sperando di non dire cavolate...devo considerare il caso in cui k=1 e nel caso in cui $k!=1$ in questo modo applico Rouche-Capelli in base ai valori dei ranghi
Spero di essere stato chiaro....
Grazie mille

[Bokonon]

"Oscar19":Ok ho capito cosa vuoi dirmi....
Io considerato le due matrici in modo separato ...anche se facevo l'E.G. perché metto la riga per separarle....
Allora si è vero quello che tu dici k=1
Quindi sperando di non dire cavolate...devo considerare il caso in cui k=1 e nel caso in cui $k!=1$ in questo modo applico

No, sai già che il sistema ha soluzione SOLO per $k=1$...e quindi risolvi il sistema per $k=1$
Ora guarda la matrice principale (le prime tre colonne). Sai già che la terza colonna è una combinazione lineare delle prime due. Prova a sostituire k=1 e poi prova a sommare le prime due colonne...e magia
k=1 è l'unico valore per cui il vettore B è combinazione lineare dei tre vettori della matrice di trasformazione.
Si vede ad occhio nudo che il sistema ha soluzione se moltiplichi le prime due colonne per 1 e la terza per zero e le sommi.
Quindi senza manco risolvere il sistema, la soluzione particolare è (1,1,0).
Ma il rango della matrice principale è 2, quindi il sistema ha infinite soluzioni: abbiamo trovato solo quella "particolare".
Adesso trova il kernel della matrice di trasformazione e trova TUTTE le soluzioni che saranno del tipo c(a,b,c)+(1,1,0) perchè il kernel ha rango 1.

[Oscar19]

Ok....questa volta lo capito sul serio...molto chiaro...ti chiedo scusa se non ho capito subito.....sono mortificato...
Grazie

[Bokonon]

"Oscar19":Ok....questa volta lo capito sul serio...molto chiaro...ti chiedo scusa se non ho capito subito.....sono mortificato...
Grazie

Figurati...siamo qua per imparare.
Però noto che non porti a termine gli esercizi e salti da uno all'altro.
In realtà da un solo esercizio puoi imparare una marea di cose se continui a lavorarci su e a porti domande.
Per esempio, abbiamo visto che l'unico valore che soddisfava la riga di zeri era k=1. Quindi siamo passatia verificare che anche le altre due equazioni fossero soddisfatte per quel valore di k...altrimenti il sistema non avrebbe avuto mai nessuna soluzione (l'ho fatto ad occhio perchè l'ho trovato istruttivo ma in generale devi risolvere l'intero sistema, specie quando non è immediato come questo).
Il concetto è che un sistema ha soluzione se il vettore B si trova nello spazio dell'immagine. In questo caso l'immagine ha dimensione due (un piano) ed è generata dai vettori colonna (0,2,1) e (1,3,-3) (gli unici due indipendenti). Se B non si trova mai su quel piano (ovvero non può essere generato da questi due vettori) allora non esiste la soluzione particolare...e quindi nessuna soluzione.
Quindi tutto l'esercizio chiedeva appunto di trovare se esisteva un valore di k per cui il vettore parametrico B si trovasse su quel piano. Vedi la geometria?