Sistema lineare con parametro
Buonasera, ho riscontrato problemi nel studiare il parametro h del sistema lineare
${x+y+z+3t=h$
${hx-2y+z+(h-1)t=0$
${z+(h+1)t=h$
ho pensato di prendere in considerazione il minore $1,1;-2,1$ il cui determinante è diverso da zero per cui la matrice ha almeno rango due. Successivamente mi sono calcolato i suoi orlati della matrice completa e mi sono usciti rispettivamente h=-2,1,0 ora però non saprei come procedere...
${x+y+z+3t=h$
${hx-2y+z+(h-1)t=0$
${z+(h+1)t=h$
ho pensato di prendere in considerazione il minore $1,1;-2,1$ il cui determinante è diverso da zero per cui la matrice ha almeno rango due. Successivamente mi sono calcolato i suoi orlati della matrice completa e mi sono usciti rispettivamente h=-2,1,0 ora però non saprei come procedere...
Risposte
Perché complicarsi la vita con i minori orlati? 
Una volta ridotta per righe con l'algoritmo di Gauss-Jordan
Verifichi cosa succede per $h=0,-1,2,7$ e per i valori $hne0,-1,2,7$ con l'aiuto del teorema di Kronecker-Rouché-Capelli
Una volta ridotta per righe con l'algoritmo di Gauss-Jordan
$( ( 1 , 1 , 1 , 3 , |h ),( h , 2 , 1 , h-1 , |0 ),( 0 , 0 , 1 , h+1 , |h ) ) $
$R_2->R_2-2R_1$ $( ( 1 , 1 , 1 , 3 , |h ),( h-2 , 0 , -1 , h-7 , |-2h ),( 0 , 0 , 1 , (h+1) , |h ) ) $
$R_2->R_2-2R_1$ $( ( 1 , 1 , 1 , 3 , |h ),( h-2 , 0 , -1 , h-7 , |-2h ),( 0 , 0 , 1 , (h+1) , |h ) ) $
Verifichi cosa succede per $h=0,-1,2,7$ e per i valori $hne0,-1,2,7$ con l'aiuto del teorema di Kronecker-Rouché-Capelli
Scusami ancora, 
ma non riesco a capire perché hai utilizzato il metodo di riduzione. Il mio docente mi ha spiegato che per studiare un sistema devo calcolarmi il suo determinante e dopo averlo posto uguale a zero devo iniziare a fare le considerazioni.Grazie in anticipo 
ma non riesco a capire perché hai utilizzato il metodo di riduzione. Il mio docente mi ha spiegato che per studiare un sistema devo calcolarmi il suo determinante e dopo averlo posto uguale a zero devo iniziare a fare le considerazioni.Grazie in anticipo
"mikoile":
non riesco a capire perché hai utilizzato il metodo di riduzione.
Il mio docente mi ha spiegato che per studiare un sistema devo calcolarmi il suo determinante e dopo averlo posto uguale a zero devo iniziare a fare le considerazioni.
È un metodo alternativo, quello proposto dal vostro professore non l'ho mai usato e non ti posso aiutare
Va bene grazie mille lo stesso . Ti posso chiedere una cosa ? come mai hai hai ridotto la seconda riga ? non potevo prendere la terza sottrarla con la prima
. Ti posso chiedere una cosa ? come mai hai hai ridotto la seconda riga ? non potevo prendere la terza sottrarla con la prima
Non ha importanza come scegli di ridurre la matrice. Se adoperi solo le operazioni elementari, la matrice ridotta sarà equivalente a quella di partenza: lo scopo è quello di ottenere un pivot su ogni riga non nulla.
Intendi così?
$R_3->R_3-R_1$ $ ( ( 1 , 1 , 1 , 3 , |h ),( h , 2 , 1 , h-1 , |0 ),( -1 , -1 , 0 , h-2 , |0 ) ) $
"mikoile":
non potevo prendere la terza sottrarla con la prima
Intendi così?
$R_3->R_3-R_1$ $ ( ( 1 , 1 , 1 , 3 , |h ),( h , 2 , 1 , h-1 , |0 ),( -1 , -1 , 0 , h-2 , |0 ) ) $
esatto .. se faccio ad esempo in questo modo cosa cambia ?
Non è sufficiente: hai un pivot sulla seconda riga però ne manca uno sulla prima
scusami ma il pivot non è il primo elemento di una riga non nulla ? La prima riga è completa
Scusate, ma non si potrebbe dire semplicemente che se h è diverso da 2 allora la matrice incompleta ha rango 3, così come la matrice completa e quindi le soluzioni dipendono da 1 parametro mentre se h=2 allora la matrice incompleta e completa hanno rango comunque uguale a 3 e le soluzioni dipendono sempre da un parametro? Perchè analizzare quei casi h=7, 0 ecc...?
"mikoile":
scusami ma il pivot non è il primo elemento di una riga non nulla ? La prima riga è completa
Dato un sistema di $AX=B$; $A$ è la matrice dei coefficienti, e $B$ è il vettore dei termini noti.
I pivot vanno scelti nella matrice $A$.
"Albirz":
Perchè analizzare quei casi h=7, 0 ecc...?
Vanno analizzati tutti i valori che annullano un termine contenenti il parametro, ad esempio per $h=0$ si ha un sistema omogeneo, che ammette sempre almeno una soluzione!
Scusami: se riduco la matrice a scala, poi studio il rango della matrice completa e incompleta. Basta osservare in realtà che per qualunque valore di h (uguale o diverso da -2) trovi un minore non nullo di ordine 3 e quindi il rango è 3. Ciò sia per la matrice completa che incompleta. Dunqua il sistema ha sempre soluzioni dipendenti da 1 parametro. Per capire, dove sbaglio?
Sì, non avevo fatto i calcoli
In questo esercizio per ogni $h$ le matrice $A$ e $A|B$ hanno sempre rango pari a $3$.
In un caso più generale, senza fare uso dei minori, dopo aver ridotto osservo come varia il rango (considerandolo come il numero di righe non nulle) di $A$ e $A|B$ al variare del parametro assegnato.
In questo esercizio per ogni $h$ le matrice $A$ e $A|B$ hanno sempre rango pari a $3$.
In un caso più generale, senza fare uso dei minori, dopo aver ridotto osservo come varia il rango (considerandolo come il numero di righe non nulle) di $A$ e $A|B$ al variare del parametro assegnato.
La matrice incompleta non essendo quadrata ha bisogno , per essere studiata, di considerare gli orlati di un minore 2x2, in questo caso (1,1;-2,1) perchè non contiene il parametro h. Risolvendo queste due matrici quadrate (3x3) nella prima esce h=-2 e nella seconda h=1 ... ecco perchè non si deve considerare solo il caso h=-2
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo