Sistema lineare con parametro
Stabilire, per quali valori del parametro reale $k$, il seguente sistema ammette $oo^1$ soluzioni:
$\{(x+z=0),(2x+y-kz=k),(k^2 x+9z=k+3):}$
E' una matrice quadrata m=3, n=3 mi scrivo la matrice incompleta
$A=((1,0,1),(2,1,-k),(k^2,0,9))$ e mi calcolo il determinante che viene $9-k^2 \Rightarrow k=3$
Quindi:
Caso 1 $k!=3 \Rightarrow rgA=rgC=3$ rango massimo, quindi il sistema è determinato e ammette 1 soluzione giusto?
Caso 2 $k=3 \Rightarrow rgA=2$
Mi scrivo la matrice completa $C$ :
$C=((1,0,1,0),(2,1,-3,3),(9,0,9,6)) $ se prendo il minore $M=|((1,0),(2,1))|=1!=0$ e lo orlo per calcolarmi il rango di $C$ ottengo
$|C|=((1,0,0),(2,1,3),(9,0,6)) =6!=0$ posso concludere che $rgC=3$ quindi $rgA!=rgC$ e il sistema è incompatibile??
Non capisco quindi quando sarebbe il caso in cui ottengo $oo^1$ soluzioni??
Per ottenere $oo^1$ soluzioni dovrei avere che $rgA=rgC=2 \Rightarrow oo^{n-p} \Rightarrow oo^3-2 \Rightarrow oo^{1}$ soluzioni.. Avrò sbagliato qualche procedimento? Ho controllato e ricontrollato ma mi sembra corretto, spero mi possiate aiutare grazie.
$\{(x+z=0),(2x+y-kz=k),(k^2 x+9z=k+3):}$
E' una matrice quadrata m=3, n=3 mi scrivo la matrice incompleta
$A=((1,0,1),(2,1,-k),(k^2,0,9))$ e mi calcolo il determinante che viene $9-k^2 \Rightarrow k=3$
Quindi:
Caso 1 $k!=3 \Rightarrow rgA=rgC=3$ rango massimo, quindi il sistema è determinato e ammette 1 soluzione giusto?
Caso 2 $k=3 \Rightarrow rgA=2$
Mi scrivo la matrice completa $C$ :
$C=((1,0,1,0),(2,1,-3,3),(9,0,9,6)) $ se prendo il minore $M=|((1,0),(2,1))|=1!=0$ e lo orlo per calcolarmi il rango di $C$ ottengo
$|C|=((1,0,0),(2,1,3),(9,0,6)) =6!=0$ posso concludere che $rgC=3$ quindi $rgA!=rgC$ e il sistema è incompatibile??
Non capisco quindi quando sarebbe il caso in cui ottengo $oo^1$ soluzioni??
Per ottenere $oo^1$ soluzioni dovrei avere che $rgA=rgC=2 \Rightarrow oo^{n-p} \Rightarrow oo^3-2 \Rightarrow oo^{1}$ soluzioni.. Avrò sbagliato qualche procedimento? Ho controllato e ricontrollato ma mi sembra corretto, spero mi possiate aiutare grazie.
Risposte
hai dimenticato un caso. $k=-3$
"cooper":
hai dimenticato un caso. $k=-3$
E' vero non ci avevo pensato..
Un altro metodo è quello di ridurre preliminarmente la matrice dei coefficienti con Gauss-Jordan[nota]Non per forza a "scalini", l'importante è che ci sia un pivot su ogni riga non nulla![/nota]:
In questo modo il calcolo del rango è immediato!
e si può applicare immediatamente anche il Teorema di Kronecker-Rouché-Capelli 
$ ((1,0,1,|0),(2,1,-k,|k),(k^2,0,9,|k+3)) $
$((2,1,-k,|k),(1,0,1,|0),((k-3)(k+3),0,0,|k+3))$
In questo modo il calcolo del rango è immediato!
e si può applicare immediatamente anche il Teorema di Kronecker-Rouché-Capelli
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