Sistema Lineare con Parametro
Salve, ho svolto un esercizio che comprendeva un sistema lineare con parametro, 
ho provato a svolgerlo calcolando col determinante della matrice dei coefficienti e sostituendo il valore del parametro nel sistema in modo tale da vedere come si comportava il sistema stesso.
Qualcuno può dirmi se ho fatto bene e quale sarebbe il risultato cosi da poterlo confrontare con il mio?
Grazie mille
ho provato a svolgerlo calcolando col determinante della matrice dei coefficienti e sostituendo il valore del parametro nel sistema in modo tale da vedere come si comportava il sistema stesso.Qualcuno può dirmi se ho fatto bene e quale sarebbe il risultato cosi da poterlo confrontare con il mio?
Grazie mille
Risposte
Ciao.
Secondo me devi semplicemente applicare il teorema di Rouchè-Capelli.
Da quello che mi pare di vedere nell'immagine (un po' sfocata), il sistema ha 3 equazioni, ma 4 incognite, quindi non puoi calcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema, essendo la matrice non quadrata.
Saluti.
Secondo me devi semplicemente applicare il teorema di Rouchè-Capelli.
Da quello che mi pare di vedere nell'immagine (un po' sfocata), il sistema ha 3 equazioni, ma 4 incognite, quindi non puoi calcolare il determinante della matrice dei coefficienti del sistema, essendo la matrice non quadrata.
Saluti.
Ciao Alessandro, io ho applicato il teorema di Rouchè Capelli però il determinante mi serve per potermi calcolare il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa,perciò ho considerato una sottomatrice quadrata di ordine tre e ho ottenuto due valori del parametro per cui h diverso da zero mi dia rango massimo
Chiaro.
Comunque, se non ho sbagliato i calcoli, mi verrebbe che il rango della matrice del sistema è massimo, purchè valga: $h!=14pmsqrt(141)$.
Saluti.
Comunque, se non ho sbagliato i calcoli, mi verrebbe che il rango della matrice del sistema è massimo, purchè valga: $h!=14pmsqrt(141)$.
Saluti.
A me risulta(ma potrei aver sbagliato qualche calcolo) che il sistema ammetta:
\(\displaystyle
\begin{cases}
\infty^1 \ soluzioni, & if \ \ h \neq 21/2 \ or \ h \neq 1 \\
\infty^2 \ soluzioni, & if \ h = 1 \\
\end{cases}
\)
\(\displaystyle
\begin{cases}
\infty^1 \ soluzioni, & if \ \ h \neq 21/2 \ or \ h \neq 1 \\
\infty^2 \ soluzioni, & if \ h = 1 \\
\end{cases}
\)
"alessandro8":
Chiaro.
Comunque, se non ho sbagliato i calcoli, mi verrebbe che il rango della matrice del sistema è massimo, purchè valga: $h!=14pmsqrt(141)$.
Saluti.
Ciao.
Avevo sbagliato i conti.
Il rango della matrice mi viene massimo per $h!=(23pm19)/4$, il che conferma i valori trovati da JackMek.
"JackMek":
A me risulta(ma potrei aver sbagliato qualche calcolo) che il sistema ammetta:
\(\displaystyle
\begin{cases}
\infty^1 \ soluzioni, & if \ \ h \neq 21/2 \ or \ h \neq 1 \\
\infty^2 \ soluzioni, & if \ h = 1 \\
\end{cases}
\)
ciao,allora a me sono usciti quei valori di H quando ho calcolato il rango,col determinante, della matrice incompleta poi ho calcolato il determinante della sottomatrice di ordine 3,3 che ha come terza colonna la colonna dei termini noti (cioè ho calcolato il rango,col determinante, della matrice completa) e mi sono usciti come valori di H= 1,6,in pratica ho quattro valori di H cioè 1,1,6,21/2 e mi sono bloccato in questo punto perché non so cosa dovrei fare
Secondo il teorema di Rouché-Capelli esistono soluzioni se \(\displaystyle rank(A|0) = rank (A|b) \)
Quindi devi cercare quei valori di \(\displaystyle h \) per cui vale questa condizione
Come giustamente hai verificato hai:
rank(A) = \( \displaystyle \begin{cases} \ 2, & if \ \ h = 21/2 \ or \ h = 1 \\ \ 3 , & altrove \\ \end{cases} \)
rank(A|b) = \( \displaystyle \begin{cases} \ 2, & if \ \ h = 1 \\ \ 3 , & altrove \\ \end{cases} \)
Per \(\displaystyle h=6 \) hai che \(\displaystyle rank(A) = 3 \)
Quindi essendo evidente che \(\displaystyle rank(A|b) >= rank(A) \)**
e che \(\displaystyle 0 <= rank(M) <= min(n,m)\) con M matrice \(\displaystyle n \ x \ m \)
Hai che \(\displaystyle rank(A|b)=3 \ con \ h=6 \)
**Se almeno un orlato di ordine \(\displaystyle m+1 \) della sottomatrice di ordine m è diverso da zero allora il rango sarà almeno m+1
Nel nostro caso, quindi, la matrice \(\displaystyle A|b \) ha rango 2 solo se(teorema di Kronecker) tutti i suoi orlati hanndo determinate nullo, e questo accade per \(\displaystyle h=1 \)
Quindi devi cercare quei valori di \(\displaystyle h \) per cui vale questa condizione
Come giustamente hai verificato hai:
rank(A) = \( \displaystyle \begin{cases} \ 2, & if \ \ h = 21/2 \ or \ h = 1 \\ \ 3 , & altrove \\ \end{cases} \)
rank(A|b) = \( \displaystyle \begin{cases} \ 2, & if \ \ h = 1 \\ \ 3 , & altrove \\ \end{cases} \)
Per \(\displaystyle h=6 \) hai che \(\displaystyle rank(A) = 3 \)
Quindi essendo evidente che \(\displaystyle rank(A|b) >= rank(A) \)**
e che \(\displaystyle 0 <= rank(M) <= min(n,m)\) con M matrice \(\displaystyle n \ x \ m \)
Hai che \(\displaystyle rank(A|b)=3 \ con \ h=6 \)
**Se almeno un orlato di ordine \(\displaystyle m+1 \) della sottomatrice di ordine m è diverso da zero allora il rango sarà almeno m+1
Nel nostro caso, quindi, la matrice \(\displaystyle A|b \) ha rango 2 solo se(teorema di Kronecker) tutti i suoi orlati hanndo determinate nullo, e questo accade per \(\displaystyle h=1 \)
"JackMek":
Secondo il teorema di Rouché-Capelli esistono soluzioni se \(\displaystyle rank(A|0) = rank (A|b) \)
Quindi devi cercare quei valori di \(\displaystyle h \) per cui vale questa condizione
Come giustamente hai verificato hai:
rank(A) = \( \displaystyle \begin{cases} \ 2, & if \ \ h = 21/2 \ or \ h = 1 \\ \ 3 , & altrove \\ \end{cases} \)
rank(A|b) = \( \displaystyle \begin{cases} \ 2, & if \ \ h = 1 \\ \ 3 , & altrove \\ \end{cases} \)
Per \(\displaystyle h=6 \) hai che \(\displaystyle rank(A) = 3 \)
Quindi essendo evidente che \(\displaystyle rank(A|b) >= rank(A) \)**
e che \(\displaystyle 0 <= rank(M) <= min(n,m)\) con M matrice \(\displaystyle n \ x \ m \)
Hai che \(\displaystyle rank(A|b)=3 \ con \ h=6 \)
**Se almeno un orlato di ordine \(\displaystyle m+1 \) della sottomatrice di ordine m è diverso da zero allora il rango sarà almeno m+1
Nel nostro caso, quindi, la matrice \(\displaystyle A|b \) ha rango 2 solo se(teorema di Kronecker) tutti i suoi orlati hanndo determinate nullo, e questo accade per \(\displaystyle h=1 \)
Quindi io uso Rouchè Capelli per vedere se sono compatibili e se hanno una o infinite soluzioni e poi uso il sistema associato per determinare le incognite. Tornando all'esercizio io ho che la matrice A ha rango uguale a quello di Ab solo quando hanno i valori di h diversi da 21/2,6,1 (in questo caso hanno rango Massimo e un'unica soluzione) poi sostituendo tali valori nel sistema ho i vari casi cioè avrò infinite soluzioni o saranno incompatibili, perché non soddisferanno il teorema di Rouchè Capelli
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo