Sistema Lineare con parametro

[fabian.p]

Salve a tutti,
avrei bisogno di capire come procedere nella soluzione di un sistema lineare con parametro.
Il testo dell'esercizio è il seguente:

Es. Sia p \(\in \) R e si consideri il seguente sistema lineare

$\{(x + 2y + z = 1),(2x + y - z = 2),(x - z = p):}$

Ridurre il sistema in forma a scala e dire per quali p \(\in \) R esso ha soluzione. Per tali valori risolvero.

Non ho capito bene come impostare il problema. Grazie in anticipo.

[Mino_01]

Benvenuto Fabian

proponi qualche idea così che si possa discutere....

Ciao
Mino

[fabian.p]

Io risolverei il sistema usando il metodo di sostituzione e tratterei p come le altre variabili. Ma questo è il mio problema. Non so se è corretto o meno.

[Mino_01]

Conosci l' algoritmo di Gauss per la riduzione di una matrice a gradini?

[fabian.p]

Si lo conosco ma ripeto il mio problema è capire in che modo usare p. Mi potresti spiegare a parole il procedimento su come arrivare alla soluzione? Grazie

[irenemugna]

quando incontro problemi del genere procedo così:
scrivo la matrice associata separando i termini noti dai coeff. di x y e z con una linea tratteggiata. Riduco a scala con Gauss. una volta ottenuta una matrice a scala dico semplicemente che il sistema ha soluzione se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta. il verificarsi di questo dipenderà da determinati valori di p!

[fabian.p]

Ok grazie irenemugna.. il mio problema è capire per quali valori di p il sistema ammette soluzioni.

[irenemugna]

A me viene (ridotta a scala):

1 2 1 1
0 -3 -3 0
0 0 0 3(1-p)

quindi: per p=1 r(A)=r(AB)=2 e il problema ha soluzione (per trovare la soluzione basta sostituire p=1 e risolvere un sistema)

per p=1 r(A)=2 r(AB)=3 quindi per il th di rouche capelli (o come si scrive) il sistema non ha soluzione

[irenemugna]

tanto ci sono...visto che domani ho l'esame e sono in crisi acuta... poco sotto c'è anche un mio messaggio sos ("matrice associata endomorfismo URGENTE o qualcosa di simile")... vi prego dategli un'occhiataaa XD

[ciampax]

Fabian, per prima cosa riduci il sistema in forma triangolare pensando a $p$ come una costante arbitraria. Nel fare la riduzione è probabile che tu ti trovi con una terza equazione del tipo $z=f(p)$ oppure $0=f(p)$ ($f$ una funzione della $p$). Se così fosse, nel primo caso non avresti problemi (basta assegnare a $z$ il valore in funzione di $p$) mentre nel secondo caso, al fine di rendere sensata l'equazione, dovresti trovare i valori di $p$ che annullano $f$ (altrimenti avresti una equazione incompatibile).