Sistema Lineare con parametro
Salve a tutti,
avrei bisogno di capire come procedere nella soluzione di un sistema lineare con parametro.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Es. Sia p \(\in \) R e si consideri il seguente sistema lineare
$\{(x + 2y + z = 1),(2x + y - z = 2),(x - z = p):}$
Ridurre il sistema in forma a scala e dire per quali p \(\in \) R esso ha soluzione. Per tali valori risolvero.
Non ho capito bene come impostare il problema. Grazie in anticipo.
avrei bisogno di capire come procedere nella soluzione di un sistema lineare con parametro.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
Es. Sia p \(\in \) R e si consideri il seguente sistema lineare
$\{(x + 2y + z = 1),(2x + y - z = 2),(x - z = p):}$
Ridurre il sistema in forma a scala e dire per quali p \(\in \) R esso ha soluzione. Per tali valori risolvero.
Non ho capito bene come impostare il problema. Grazie in anticipo.
Risposte
Benvenuto Fabian
proponi qualche idea così che si possa discutere....
Ciao
Mino
proponi qualche idea così che si possa discutere....
Ciao
Mino
Io risolverei il sistema usando il metodo di sostituzione e tratterei p come le altre variabili. Ma questo è il mio problema. Non so se è corretto o meno.
Conosci l' algoritmo di Gauss per la riduzione di una matrice a gradini?
Si lo conosco ma ripeto il mio problema è capire in che modo usare p. Mi potresti spiegare a parole il procedimento su come arrivare alla soluzione? Grazie
quando incontro problemi del genere procedo così:
scrivo la matrice associata separando i termini noti dai coeff. di x y e z con una linea tratteggiata. Riduco a scala con Gauss. una volta ottenuta una matrice a scala dico semplicemente che il sistema ha soluzione se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta. il verificarsi di questo dipenderà da determinati valori di p!
scrivo la matrice associata separando i termini noti dai coeff. di x y e z con una linea tratteggiata. Riduco a scala con Gauss. una volta ottenuta una matrice a scala dico semplicemente che il sistema ha soluzione se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta. il verificarsi di questo dipenderà da determinati valori di p!
Ok grazie irenemugna.. il mio problema è capire per quali valori di p il sistema ammette soluzioni.
A me viene (ridotta a scala):
1 2 1 1
0 -3 -3 0
0 0 0 3(1-p)
quindi: per p=1 r(A)=r(AB)=2 e il problema ha soluzione (per trovare la soluzione basta sostituire p=1 e risolvere un sistema)
per p=1 r(A)=2 r(AB)=3 quindi per il th di rouche capelli (o come si scrive) il sistema non ha soluzione
1 2 1 1
0 -3 -3 0
0 0 0 3(1-p)
quindi: per p=1 r(A)=r(AB)=2 e il problema ha soluzione (per trovare la soluzione basta sostituire p=1 e risolvere un sistema)
per p=1 r(A)=2 r(AB)=3 quindi per il th di rouche capelli (o come si scrive) il sistema non ha soluzione
tanto ci sono...visto che domani ho l'esame e sono in crisi acuta... poco sotto c'è anche un mio messaggio sos ("matrice associata endomorfismo URGENTE o qualcosa di simile")... vi prego dategli un'occhiataaa XD
Fabian, per prima cosa riduci il sistema in forma triangolare pensando a $p$ come una costante arbitraria. Nel fare la riduzione è probabile che tu ti trovi con una terza equazione del tipo $z=f(p)$ oppure $0=f(p)$ ($f$ una funzione della $p$). Se così fosse, nel primo caso non avresti problemi (basta assegnare a $z$ il valore in funzione di $p$) mentre nel secondo caso, al fine di rendere sensata l'equazione, dovresti trovare i valori di $p$ che annullano $f$ (altrimenti avresti una equazione incompatibile).