Sistema lineare con due parametri a coefficienti complessi

[elisabal]

Ciao! Potreste aiutarmi a risolvere questo sistema lineare a coefficienti complessi al variare dei parametri h,k appartenenti a C.

\(\displaystyle \)
\left\{\begin{matrix}
(k-1)x+ ky + 8iz + kt= h\\
ix -2iy +(k+1)z -2it =i \\
-kx -ky -8iz -kt = 7+2i
\end{matrix}\right.

Prima di tutto devo studiare la compatibilità, applicando il teorema di Rouché Capelli, per cui so che il sistema è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa. Quindi calcolo il determinante della matrice incompleta, se il determinante di quest'ultima è diverso da zero, allora esiste un'unica soluzione, altrimenti studio a parte i casi per cui il determinante è uguale a 0.

La matrice incompleta è:

\begin{vmatrix}
k-1 & k & 8i & k \\
i & -2i & k+1 & -2i\\
-k & -k & -8i & -k
\end{vmatrix}

La mia prima domanda è: la seconda e la quarta colonna sono uguali, come posso sfruttare quest'informazione?

Altrimenti io procederei così, aggiungendo alla terza riga la prima, ottenendo:

\begin{vmatrix}
k-1 & k & 8i & k \\
i & -2i & k+1 & -2i\\
-1 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}

e calcolando il determinante con la regola di Laplace:
detA= -1* det
\begin{vmatrix}
k & 8i & k \\
-2i & k+1 & -2i\\
\end{vmatrix}

Ma a questo punto non sono più in grado di procedere, potreste spiegarmi come fare? Vi ringrazio

[isaac888]

Ciao!

"I4prussiani":calcolando il determinante con la regola di Laplace:
detA= -1* det
\begin{vmatrix}
k & 8i & k \\
-2i & k+1 & -2i\\
\end{vmatrix}

Ti sei reso conto di aver calcolato il determinante di una matrice rettangolare $3\times 4$ vero? Lo dico per te. Se fai una cosa del genere in un compito ti fanno una foto e ci giocano a freccette nello studio i tuoi professori .
Comunque ti sei comportato benissimo fino a quella cosa lì!

"I4prussiani":La mia prima domanda è: la seconda e la quarta colonna sono uguali, come posso sfruttare quest'informazione?

In questo caso specifico non serve a nulla perchè tanto, una matrice $3 \times 4$ ha rango $\leq 3$.
Una buona idea per utilizzare i determinanti, secondo me, sarebbe quella di utilizzare il criterio dei minori orlati.
Prova con quella .

PS: Sai cosa? Forse potresti addirittura sfruttarla quella cosa di aver sottratto la prima riga alla terza nella matrice incompleta durante l'applicazione del criterio dei minori orlati!