Sistema lineare con A non quadrato
ho il seguente sistema lineare:
$|(k,2,6), (1,1,3), (1,(k-1),3)|$
a primo impatto vedo che A non è quadrata e quindi prendo un minore per vedere il suo rango e ottengo $A=k-2$
dopo calcolo il determinante della matrice completa B e ottengo $B=-3k^2+6k-12$
il mio compito mi da diverse soluzioni ed io devo segnare quella VERA:
A)Per $k=4$ il sistema è possibile determinato con soluzione $(-2,4)$
B)Esiste un unico $k in RR$ tale che il sistema è possibile e indeterminato
C)Per $k=2$ il sistema è impossibile
D)il sistema è sempre determinato
E)nessuna delle altre risposte
la A) è falsa perchè per $k=4$ il rango di $A=2$ e $B=3$
la B) è falsa perchè non avranno mai lo stesso rango
la D)è falsa
La C) è VERA perchè per $k=2$ il rango di A è $1$ e quello di B è $3$
il mio ragionamento è esatto?
$|(k,2,6), (1,1,3), (1,(k-1),3)|$
a primo impatto vedo che A non è quadrata e quindi prendo un minore per vedere il suo rango e ottengo $A=k-2$
dopo calcolo il determinante della matrice completa B e ottengo $B=-3k^2+6k-12$
il mio compito mi da diverse soluzioni ed io devo segnare quella VERA:
A)Per $k=4$ il sistema è possibile determinato con soluzione $(-2,4)$
B)Esiste un unico $k in RR$ tale che il sistema è possibile e indeterminato
C)Per $k=2$ il sistema è impossibile
D)il sistema è sempre determinato
E)nessuna delle altre risposte
la A) è falsa perchè per $k=4$ il rango di $A=2$ e $B=3$
la B) è falsa perchè non avranno mai lo stesso rango
la D)è falsa
La C) è VERA perchè per $k=2$ il rango di A è $1$ e quello di B è $3$
il mio ragionamento è esatto?
Risposte
Ti ho risposto per l'altro post e spero che la questione sia chiara.
Il tuo sistema appartiene ad una categoria di sistemi nei quali il numero delle equazioni (n+1 equazioni) è di una unità superiore al numero delle variabili (n variabili). Esempio, sistemi di $3$ equazioni in $2$ variabili, $4$ equazioni in $3$ variabili, $5$ equazioni in $4$ variabili, etc..
In una tale situazione la matrice completa è quadrata (di ordine $n+1$), il procedimento che si segue per discutere le soluzioni del sistema è quello di calcolare in primo luogo il determinante della matrice completa. Ovvio che per i valori del parametro che rendono tale determinante non nullo il sistema sarà incompatibile in quanto la matrice completa avrà rango massimo $n+1$ e quella incompleta avrà rango al più $n$.
Nel tuo caso la matrice completa è: $|(k,2,6),(1,1,3),(1,(k-1),3)|$, il determinante è $-3k^2+12k-12$.
Ovvio che se $k!=2$ allora il sistema è incompatibile.
Discutiamo il caso particolare $k=2$, la matrice diventa: $|(2,2,6),(1,1,3),(1,1,3)|$ e il suo rango $1$. Anche la matrice incompleta ha rango $1$ e il sistema per il teorema di Rouchè-Capelli ammette $oo^1$ soluzioni.
Il tuo sistema appartiene ad una categoria di sistemi nei quali il numero delle equazioni (n+1 equazioni) è di una unità superiore al numero delle variabili (n variabili). Esempio, sistemi di $3$ equazioni in $2$ variabili, $4$ equazioni in $3$ variabili, $5$ equazioni in $4$ variabili, etc..
In una tale situazione la matrice completa è quadrata (di ordine $n+1$), il procedimento che si segue per discutere le soluzioni del sistema è quello di calcolare in primo luogo il determinante della matrice completa. Ovvio che per i valori del parametro che rendono tale determinante non nullo il sistema sarà incompatibile in quanto la matrice completa avrà rango massimo $n+1$ e quella incompleta avrà rango al più $n$.
Nel tuo caso la matrice completa è: $|(k,2,6),(1,1,3),(1,(k-1),3)|$, il determinante è $-3k^2+12k-12$.
Ovvio che se $k!=2$ allora il sistema è incompatibile.
Discutiamo il caso particolare $k=2$, la matrice diventa: $|(2,2,6),(1,1,3),(1,1,3)|$ e il suo rango $1$. Anche la matrice incompleta ha rango $1$ e il sistema per il teorema di Rouchè-Capelli ammette $oo^1$ soluzioni.
quindi ho sbagliato???? e poi perchè a te viene $3k^2+12k$ e non $6k$?
Applicando Sarrus il determinante viene $3k+6+6(k-1)-6-6-3k(k-1)$, se sviluppi i calcoli vedi che è quello che ho scritto.
A quanto pare la risposta è B).
A quanto pare la risposta è B).
ma una volta una persona qui sul forum mi ha spiegato che per risolvere i sistemi lineari bisogna sviluppare l'equazione ottenuta....e non fare la sostituzione....quindi mi hanno detto male?
"silvia_85":
[...] per risolvere i sistemi lineari bisogna sviluppare l'equazione ottenuta....e non fare la sostituzione...
Ti spiacerebbe essere un tantino più chiara?
cioè devo risolvere le equazioni che ottengo calcolando il determinante delle due matrici....e i loro risultati sono i numeri per le quali matrici hanno determinante $=0$...spero di essere stata chiara 
scusate ma qualcuno mi può chiarire dove ho sbagliato?
"silvia_85":
la B) è falsa perchè non avranno mai lo stesso rango
[...]
La C) è VERA perchè per $k=2$ il rango di A è $1$ e quello di B è $3$
Per $k = 2$ si ha che $rank(A) = rank(B) = 1$.
ho ricontrollato bene i miei calcoli e avevi ragione tu....l'equazione della matrice completa è $-3k^2+12k-12=0$ per $k=2$ il suo determinante è $0$....tu come fai a dire che è di rango $1$ non dovrebbe essere di rango $2$?
si si forse adesso ho capito.....avete ragione...essendo che la matrice A è diciamo dentro la B....ed essendo che per k=2 la matrice B non ha sicuramente il rango 3...ad essendo A di rango 1 anche B sarà dello stesso rango...perchè A è inclusa in B....scusate se mi esprimo sicuramente in modo errato....
si si forse adesso ho capito.....avete ragione...essendo che la matrice A è diciamo dentro la B....ed essendo che per k=2 la matrice B non ha sicuramente il rango 3...ad essendo A di rango 1 anche B sarà dello stesso rango...perchè A è inclusa in B....scusate se mi esprimo sicuramente in modo errato....
Dovresti cercare di curare di più il linguaggio, Silvia... Altrimenti si va a dialogare di aria fritta.
Comunque se sostituisci $k = 2$ nella matrice $B$ trovi che sia la seconda che la terza riga di tale matrice sono multiple della prima riga. Quindi $B$ ha rango $1$ (verifica diretta).
Comunque se sostituisci $k = 2$ nella matrice $B$ trovi che sia la seconda che la terza riga di tale matrice sono multiple della prima riga. Quindi $B$ ha rango $1$ (verifica diretta).
si hai ragione...purtroppo non ho molta dimestichezza di linguaggio...spero però di essermi fatta capire (anche se un pò alla buona)
seneca ti volevo chiedere se potevi darmi una mano con questo problemino area-triangolo-pero-con-la-base-diversa-dalla-x-t95863.html
[xdom="Seneca"]La tua è una richiesta del tutto fuori tema (nonchè prematura). Dopo le canoniche 24h potrai rinnovare la richiesta di aiuto nel thread interessato (non altrove!).[/xdom]
ah ok....avevo chiesto cosi per dire...scusa
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo