Sistema lineare $AX=B$ non capisco dove sbaglio.. $\infty^0$
Ciao a tutti sono alle prese con i sistemi lineari, ma in questo esercizio non capisco dove sto sbagliando, mi viene che è indeterminato di $\infty^0$. Aiutatemi a capire. Grazie in anticipo.
Risolvere il sistema lineare [tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
1&-1&-2&-3
\end{array}\right)[/tex]
ho provato a svolgere così
MATRICE dei coefficienti $ A=( ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 3 , -1 ),( 1 , -1 , 2 ) ) $
che è una matrice 4X3 per cui il suo rango è compreso da 1 e 3
tolgo l'ultima riga e ottengo un minore 3x3 $ det| ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 3 , -1 )|=-14-4 \ne 0 $
per cui $\rho (A)=3$
ora tocca alla matrice completa
[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
1&-1&-2&-3
\end{array}\right)[/tex]
calcolo il suo rango usando Gauss e ottengo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
1&-1&-2&-3
\end{array}\right) \to r4=r2+r4 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
2&0&-1&1
\end{array}\right)\to r4=r1-r4\left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
0&0&0&0
\end{array}\right)\to[/tex]
[tex]\to r3=r2-r3 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
0&-2&2&-1\\
0&0&0&0
\end{array}\right) \to r2=2r2-r1 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
0&2&1&7\\
0&-2&2&-1\\
0&0&0&0
\end{array}\right) \to r3=r2+r3 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
0&2&1&7\\
0&0&3&6\\
0&0&0&0
\end{array}\right)[/tex]
quindi $\rho (A|b)=3$
vedo che $\rho (A)=\rho(A|b)=3$
quindi il sistema è INDETERMINATO e le soluzioni sono $\infty^(3-3)=\infty^0$
E NON capisco dove sto sbagliando!
Risolvere il sistema lineare [tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
1&-1&-2&-3
\end{array}\right)[/tex]
ho provato a svolgere così
MATRICE dei coefficienti $ A=( ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 3 , -1 ),( 1 , -1 , 2 ) ) $
che è una matrice 4X3 per cui il suo rango è compreso da 1 e 3
tolgo l'ultima riga e ottengo un minore 3x3 $ det| ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 3 , -1 )|=-14-4 \ne 0 $
per cui $\rho (A)=3$
ora tocca alla matrice completa
[tex]A|b=\left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
1&-1&-2&-3
\end{array}\right)[/tex]
calcolo il suo rango usando Gauss e ottengo
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
1&-1&-2&-3
\end{array}\right) \to r4=r2+r4 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
2&0&-1&1
\end{array}\right)\to r4=r1-r4\left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
1&3&-1&5\\
0&0&0&0
\end{array}\right)\to[/tex]
[tex]\to r3=r2-r3 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
1&1&1&4\\
0&-2&2&-1\\
0&0&0&0
\end{array}\right) \to r2=2r2-r1 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
0&2&1&7\\
0&-2&2&-1\\
0&0&0&0
\end{array}\right) \to r3=r2+r3 \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\
0&2&1&7\\
0&0&3&6\\
0&0&0&0
\end{array}\right)[/tex]
quindi $\rho (A|b)=3$
vedo che $\rho (A)=\rho(A|b)=3$
quindi il sistema è INDETERMINATO e le soluzioni sono $\infty^(3-3)=\infty^0$
E NON capisco dove sto sbagliando!
Risposte
ma scusa, se i ranghi delle due matrici sono uguali, come fa ad essere il sistema indeterminato?
"Kashaman":
ma scusa, se i ranghi delle due matrici sono uguali, come fa ad essere il sistema indeterminato?
lo dice il teorema di Rouché-Capelli
Dato un sistema lineare di m equazioni in n incognite $Ax=b$, vi sono le seguenti possibilita
1. se $rho(A)<\rho(A|b)$, allora il sistema non ha soluzione (impossibile)
2. se $\rho(A)=\rho(A|b)$ allora il sistema ha $(\infty)^(k)$ soluzioni, ove $k=n-r$
Lo so, scusami. è solo una questione di terminologia allora. Pensavo che intendesse "non ha soluzione" con indeterminato.
eh ma qui mi viene $\infty ^0$ e allora?
ha un'unica soluzione. Il sistema è equivalente ad uno di Kramer , ottenuto eliminando ad esempio la 4° equazione.
"Kashaman":
ha un'unica soluzione. Il sistema è equivalente ad uno di Kramer , ottenuto eliminando ad esempio la 4° equazione.
ah ok!
Io ho applicato il metodo di Gauss alla matrice
[tex]A|b=\( \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&4\\1&1&1&4\\1&3&-1&5\\
1&-1&-2&-3
\end{array}\right) \)[/tex]
facendo un po' di conti mi è venuta così [tex]\( \left(\begin{array}{ccc|c}
2&0&-1&1\\
0&2&3&7\\
0&0&-5&-6\\
0&0&0&0
\end{array}\right) \)[/tex]
quindi ${(x=11/10),(y=17/10),(z=6/5):}$
sembra vada bene
dunque riepilogando, vediamo se ho capito così la prox volta che mi capita non trovo sorprese!
se ho un sistema lineare $AX=b$ ed è $m\times n$ ed è $m>n$ e $\rho(A)=\rho(A|b)=r$ che però $n=r$
allora il sistema ha un'unica soluzione e devo considerare il nuovo sistema $AX=b$ con $(m-r)\times n$
in pratica voglio dire che ho $m-r$ equazioni in $n$ incognite
in pratica elimino una riga. E risolvo il sistema usando Gauss, Cramer...ecc..
Giusto?
se ho un sistema lineare $AX=b$ ed è $m\times n$ ed è $m>n$ e $\rho(A)=\rho(A|b)=r$ che però $n=r$
allora il sistema ha un'unica soluzione e devo considerare il nuovo sistema $AX=b$ con $(m-r)\times n$
in pratica voglio dire che ho $m-r$ equazioni in $n$ incognite
in pratica elimino una riga. E risolvo il sistema usando Gauss, Cramer...ecc..
Giusto?
In pratica devi considerare le m-r righe e scartarne le altre, si.
Il resto che hai detto mi pare corretto.
Il resto che hai detto mi pare corretto.
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