Sistema lineare al variare del parametro k
Ciao a tutti, sto incontrando alcune "difficoltà" nello svolgere questo tipo di esercizi 
Stabilire al variare del parametro reale a quante sono le soluzioni del seguente sistema lineare
${(ax+y=1),(x+y=a),(x+2ay=0):}$
Allora io procedo innanzitutto considerando la matrice dei coefficienti $((a,1),(1,1),(1,2a))$
estraggo un minore per calcolare il determinante $((a,1),(1,1))$ e vedo che questo è uguale ad a-1
è giusto il mio ragionamento? Come continuo ora?
Scusate l'ignoranza, ma è la prima volta che affronto un esercizio del genere
Stabilire al variare del parametro reale a quante sono le soluzioni del seguente sistema lineare
${(ax+y=1),(x+y=a),(x+2ay=0):}$
Allora io procedo innanzitutto considerando la matrice dei coefficienti $((a,1),(1,1),(1,2a))$
estraggo un minore per calcolare il determinante $((a,1),(1,1))$ e vedo che questo è uguale ad a-1
è giusto il mio ragionamento? Come continuo ora?
Scusate l'ignoranza, ma è la prima volta che affronto un esercizio del genere
Risposte
Ciao,
prima di iniziare, conosci il teorema di Rouchè - Capelli e la definizione di "sistema principale equivalente" ? (quest'ultima non serve ai fini dell'esercizio, ma semplifica la vita quando hai da trovare QUALI sono le soluzioni del sistema e non quante) Inoltre, il tuo ragionamento dovrebbe essere più completo per poter valutarne la correttezza. In ogni caso, affrontiamo un problema alla volta
prima di iniziare, conosci il teorema di Rouchè - Capelli e la definizione di "sistema principale equivalente" ? (quest'ultima non serve ai fini dell'esercizio, ma semplifica la vita quando hai da trovare QUALI sono le soluzioni del sistema e non quante) Inoltre, il tuo ragionamento dovrebbe essere più completo per poter valutarne la correttezza. In ogni caso, affrontiamo un problema alla volta
Ciao,grazie per la risposta! Dei due conosco solo il teorema di Rouchè-Capelli
Ciao,
figurati. Allora, visto che conosci il suddetto teorema, devi applicare le sue "conseguenze" studiando, appunto, al variare di $k$ la compatibilità e la non compatibilità del sistema. E' più facile a "farsi" che a dirsi 
:
(ho utilizzato $k$ al posto di $a$ perchè nel titolo hai scritto $k$
)
Iniziamo, dunque, col scrivere la matrice incompleta $A$ e quella completa $A|B$ :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
k & 1 \\
1 & 1 \\
1 & 2k
\end{pmatrix} \) ed \(\displaystyle A|B=\begin{pmatrix}
k & 1 & 1\\
1 & 1 & k\\
1 & 2k & 0
\end{pmatrix} \)
Bene, credo che fin qui non ci siano problemi. Ora, verifichiamo quale sia il rango di $ A $:
Il massimo rango che può assumere $ A $, indipendentemente dal valore di $k$, è $2$ (spero tu sappia il perchè). Allora, dobbiamo verificare, per quali valori di $k$, si ha $p(A)=1$ e quando $p(A)=2$ (dove con $p$ intendo, appunto, il rango).
Consideriamo dunque i tre minori (ovvero, tutti i possibili minori estraibili da $A$):
\(\displaystyle M_{1}=\begin{pmatrix}
k & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix} \) , \(\displaystyle M_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 2k
\end{pmatrix} \) , \(\displaystyle M_{3}=\begin{pmatrix}
k & 1\\
1 & 2k
\end{pmatrix} \)
Calcolando i loro determinanti, avrai $ |M_{1}| = k-1 $ , $ |M_{2}| = 2k -1 $ , $ |M_{3}| = 2k^2-1 $ . Affinchè $ p(A)=1 $, tutti devono essere nulli. Alla fine dei conti, avrai che :
$ |M_{1}| = 0 \Leftrightarrow k=1 $
$ |M_{2}| = 0 \Leftrightarrow k= \frac{1}{2} $
$ |M_{3}| = 0 \Leftrightarrow k= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $
Ma allora, per avere $ p(A)=1 $, dovrei trovare un $k$ che allo stesso tempo annulli tutti e tre quei determinanti... Ovvero, dovrebbe essere verificata questa catena di uguaglianze: $ 1 = \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $ .. Ciò, ovviamente, non è possibile. Dunque puoi concludere con certezza che $ p(A)=2 $ . Bene! Adesso bisogna fare lo stesso per $A|B $ . Dando per scontato che sai calcolare il determinante di una matrice $3 \times 3$, avrai che :
$ |(A|B)| = k + 2k -1 -2k^{3} = conti..= 2k^3-3k+1 $
Visto che $ p(A)=2 $ , il sistema di partenza sarà compatibile $\Leftrightarrow p((A|B)) = 2 $, per il th. di R-C.
Se, d'altro canto, $ |(A|B)| \ne 0 \Rightarrow p((A|B)) = 3 $ e quindi $ p(A)=2 \ne p((A|B)) = 3 $. Dunque, il sistema in tal caso NON è compatibile, ovvero non ammette soluzioni. Per concludere, visto che \(\displaystyle p(A)=p((A|B))=2=numero \) \(\displaystyle incognite \), saprai con certezza che esiste una ed una sola soluzione per il sistema considerato. Spero di non aver commesso errori e di essere stato chiaro.
figurati
. Allora, visto che conosci il suddetto teorema, devi applicare le sue "conseguenze" studiando, appunto, al variare di $k$ la compatibilità e la non compatibilità del sistema. E' più facile a "farsi" che a dirsi :(ho utilizzato $k$ al posto di $a$ perchè nel titolo hai scritto $k$
)Iniziamo, dunque, col scrivere la matrice incompleta $A$ e quella completa $A|B$ :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
k & 1 \\
1 & 1 \\
1 & 2k
\end{pmatrix} \) ed \(\displaystyle A|B=\begin{pmatrix}
k & 1 & 1\\
1 & 1 & k\\
1 & 2k & 0
\end{pmatrix} \)
Bene, credo che fin qui non ci siano problemi. Ora, verifichiamo quale sia il rango di $ A $:
Il massimo rango che può assumere $ A $, indipendentemente dal valore di $k$, è $2$ (spero tu sappia il perchè). Allora, dobbiamo verificare, per quali valori di $k$, si ha $p(A)=1$ e quando $p(A)=2$ (dove con $p$ intendo, appunto, il rango).
Consideriamo dunque i tre minori (ovvero, tutti i possibili minori estraibili da $A$):
\(\displaystyle M_{1}=\begin{pmatrix}
k & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix} \) , \(\displaystyle M_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 2k
\end{pmatrix} \) , \(\displaystyle M_{3}=\begin{pmatrix}
k & 1\\
1 & 2k
\end{pmatrix} \)
Calcolando i loro determinanti, avrai $ |M_{1}| = k-1 $ , $ |M_{2}| = 2k -1 $ , $ |M_{3}| = 2k^2-1 $ . Affinchè $ p(A)=1 $, tutti devono essere nulli. Alla fine dei conti, avrai che :
$ |M_{1}| = 0 \Leftrightarrow k=1 $
$ |M_{2}| = 0 \Leftrightarrow k= \frac{1}{2} $
$ |M_{3}| = 0 \Leftrightarrow k= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $
Ma allora, per avere $ p(A)=1 $, dovrei trovare un $k$ che allo stesso tempo annulli tutti e tre quei determinanti... Ovvero, dovrebbe essere verificata questa catena di uguaglianze: $ 1 = \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $ .. Ciò, ovviamente, non è possibile. Dunque puoi concludere con certezza che $ p(A)=2 $ . Bene! Adesso bisogna fare lo stesso per $A|B $ . Dando per scontato che sai calcolare il determinante di una matrice $3 \times 3$, avrai che :
$ |(A|B)| = k + 2k -1 -2k^{3} = conti..= 2k^3-3k+1 $
Visto che $ p(A)=2 $ , il sistema di partenza sarà compatibile $\Leftrightarrow p((A|B)) = 2 $, per il th. di R-C.
Se, d'altro canto, $ |(A|B)| \ne 0 \Rightarrow p((A|B)) = 3 $ e quindi $ p(A)=2 \ne p((A|B)) = 3 $. Dunque, il sistema in tal caso NON è compatibile, ovvero non ammette soluzioni. Per concludere, visto che \(\displaystyle p(A)=p((A|B))=2=numero \) \(\displaystyle incognite \), saprai con certezza che esiste una ed una sola soluzione per il sistema considerato. Spero di non aver commesso errori e di essere stato chiaro
.
Determina per prima cosa quale sia il rango della matrice dei coefficienti.
Puoi ricavare 3 distinte sottomatrici $2x2 $ che si annullano per valori diversi di $a $ $( 1,1/2,+-sqrt(2)/2)$
Quindi il rango è 2.
Adesso devi verificare il rango della matrice completa. Per quei valori di $ a $ per cui il rango è ancora 2 allora il sistema avrà soluzioni; se per certi valori di $a $ il rango fosse 3 allora il sistema sarebbe impossibile -Rouchè-Capelli .
Puoi ricavare 3 distinte sottomatrici $2x2 $ che si annullano per valori diversi di $a $ $( 1,1/2,+-sqrt(2)/2)$
Quindi il rango è 2.
Adesso devi verificare il rango della matrice completa. Per quei valori di $ a $ per cui il rango è ancora 2 allora il sistema avrà soluzioni; se per certi valori di $a $ il rango fosse 3 allora il sistema sarebbe impossibile -Rouchè-Capelli .
"Nico769":
Ciao,
figurati
(ho utilizzato $k$ al posto di $a$ perchè nel titolo hai scritto $k$
Iniziamo, dunque, col scrivere la matrice incompleta $A$ e quella completa $A|B$ :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
k & 1 \\
1 & 1 \\
1 & 2k
\end{pmatrix} \) ed \(\displaystyle A|B=\begin{pmatrix}
k & 1 & 1\\
1 & 1 & k\\
1 & 2k & 0
\end{pmatrix} \)
Bene, credo che fin qui non ci siano problemi. Ora, verifichiamo quale sia il rango di $ A $:
Il massimo rango che può assumere $ A $, indipendentemente dal valore di $k$, è $2$ (spero tu sappia il perchè). Allora, dobbiamo verificare, per quali valori di $k$, si ha $p(A)=1$ e quando $p(A)=2$ (dove con $p$ intendo, appunto, il rango).
Consideriamo dunque i tre minori (ovvero, tutti i possibili minori estraibili da $A$):
\(\displaystyle M_{1}=\begin{pmatrix}
k & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix} \) , \(\displaystyle M_{2}=\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 2k
\end{pmatrix} \) , \(\displaystyle M_{3}=\begin{pmatrix}
k & 1\\
1 & 2k
\end{pmatrix} \)
Calcolando i loro determinanti, avrai $ |M_{1}| = k-1 $ , $ |M_{2}| = 2k -1 $ , $ |M_{3}| = 2k^2-1 $ . Affinchè $ p(A)=1 $, tutti devono essere nulli. Alla fine dei conti, avrai che :
$ |M_{1}| = 0 \Leftrightarrow k=1 $
$ |M_{2}| = 0 \Leftrightarrow k= \frac{1}{2} $
$ |M_{3}| = 0 \Leftrightarrow k= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $
Ma allora, per avere $ p(A)=1 $, dovrei trovare un $k$ che allo stesso tempo annulli tutti e tre quei determinanti... Ovvero, dovrebbe essere verificata questa catena di uguaglianze: $ 1 = \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $ .. Ciò, ovviamente, non è possibile. Dunque puoi concludere con certezza che $ p(A)=2 $ . Bene! Adesso bisogna fare lo stesso per $A|B $ . Dando per scontato che sai calcolare il determinante di una matrice $3 \times 3$, avrai che :
$ |(A|B)| = k + 2k -1 -2k^{3} = conti..= 2k^3-3k+1 $
Visto che $ p(A)=2 $ , il sistema di partenza sarà compatibile $\Leftrightarrow p((A|B)) = 2 $, per il th. di R-C.
Se, d'altro canto, $ |(A|B)| \ne 0 \Rightarrow p((A|B)) = 3 $ e quindi $ p(A)=2 \ne p((A|B)) = 3 $. Dunque, il sistema in tal caso NON è compatibile, ovvero non ammette soluzioni. Per concludere, visto che \(\displaystyle p(A)=p((A|B))=2=numero \) \(\displaystyle incognite \), saprai con certezza che esiste una ed una sola soluzione per il sistema considerato. Spero di non aver commesso errori e di essere stato chiaro
Sei stato chiarissimo, ho rifatto l'esercizio seguendo i tuoi passaggi e ho finalmente compreso il ragionamento!
Ora provo a fare da sola gli altri esercizi, grazie mille davvero
Nessun problema, mi fa molto piacere . Se avessi altri dubbi, posta pure senza problemi! Rilancio con:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+y+z-t=0 \\
x+hy+z-t=0 \\
hx+y=0
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle h \epsilon\mathbb{R} \)
. Se avessi altri dubbi, posta pure senza problemi! Rilancio con:\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+y+z-t=0 \\
x+hy+z-t=0 \\
hx+y=0
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle h \epsilon\mathbb{R} \)
"Nico769":
Nessun problema, mi fa molto piacere
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x+y+z-t=0 \\
x+hy+z-t=0 \\
hx+y=0
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle h \epsilon\mathbb{R} \)
Allora, ho provato a svolgerlo, ma penso di aver combinato un disastro, abbi pazienza
Procedendo con lo stesso metodo dell'esercizio precedente, secondo i miei assurdi calcoli, se h$!=$0;1 rk(A)=3 ed rk(A|B)=3 quindi il sistema è possibile, in particolare il rango è minore rispetto al numero delle incognite quindi il sistema è indeterminato.
se h=0 il sistema è indeterminato, se h=1 invece il sistema è determinato.
Avrò combinato un macello, quindi aspetto tue notizie
Prima di tutto, via il pessimismo, non serve quasi mai .
Come hai detto, per $h \ne 0$ ed $h \ne 1$ è vero che $rk(A)=rk(A|B)=3 $ ma ci tengo a farti notare una cosa molto simpatica:
Considera il seguente minore: \(\displaystyle M_{1}=\begin{pmatrix}
1 &1 &-1 \\
h &-1 &-1 \\
1 &0 &0
\end{pmatrix} \). Visto che $|M_{1}|=-2$ allora, indipendentemente da qualsiasi valore assuma $h$, avrai sempre :
$rk(A)=rk(A|B)=3 $ . Questo implica che il sistema è sempre compatibile!
Alt! C'è un errore: il rango è ovviamente minore del numero delle incognite MA questo implica che il sistema ammette infinite soluzioni; più precisamente, il sottospazio delle soluzioni è uno sottospazio affine di dimensione $n-rk(A)$, ovvero $\infty^{n-rk(A)}$. Quindi, per $rk(A)=rk(A|B)=3 $, avrai $\infty^{1}$.
Detto questo, se $h=0$ o $h=1$ o $h=-2$ (dovrebbe esserci anche -2, ho fatto i conti senza controllare mille volte, come mio solito) $\Rightarrow rk(A)=rk(A|B)=2$ e dunque il sottospazio affine sarà $\infty^{2}$.
Come al solito, spero di non aver sbagliato nulla. Se hai altri dubbi, chiedi pure senza timore.
P.S
Più dubbi hai, meglio è (nel senso buono eheheh), cosi mi esercito anch'io per l'esame di geometria ed algebra che ho lunedi
.Come hai detto, per $h \ne 0$ ed $h \ne 1$ è vero che $rk(A)=rk(A|B)=3 $ ma ci tengo a farti notare una cosa molto simpatica:
Considera il seguente minore: \(\displaystyle M_{1}=\begin{pmatrix}
1 &1 &-1 \\
h &-1 &-1 \\
1 &0 &0
\end{pmatrix} \). Visto che $|M_{1}|=-2$ allora, indipendentemente da qualsiasi valore assuma $h$, avrai sempre :
$rk(A)=rk(A|B)=3 $ . Questo implica che il sistema è sempre compatibile!
in particolare il rango è minore rispetto al numero delle incognite quindi il sistema è indeterminato.
Alt! C'è un errore: il rango è ovviamente minore del numero delle incognite MA questo implica che il sistema ammette infinite soluzioni; più precisamente, il sottospazio delle soluzioni è uno sottospazio affine di dimensione $n-rk(A)$, ovvero $\infty^{n-rk(A)}$. Quindi, per $rk(A)=rk(A|B)=3 $, avrai $\infty^{1}$.
Detto questo, se $h=0$ o $h=1$ o $h=-2$ (dovrebbe esserci anche -2, ho fatto i conti senza controllare mille volte, come mio solito) $\Rightarrow rk(A)=rk(A|B)=2$ e dunque il sottospazio affine sarà $\infty^{2}$.
Come al solito, spero di non aver sbagliato nulla. Se hai altri dubbi, chiedi pure senza timore.
P.S
Più dubbi hai, meglio è (nel senso buono eheheh), cosi mi esercito anch'io per l'esame di geometria ed algebra che ho lunedi
"Nico769":
Prima di tutto, via il pessimismo, non serve quasi mai
Come hai detto, per $h \ne 0$ ed $h \ne 1$ è vero che $rk(A)=rk(A|B)=3 $ ma ci tengo a farti notare una cosa molto simpatica:
Considera il seguente minore: \(\displaystyle M_{1}=\begin{pmatrix}
1 &1 &-1 \\
h &-1 &-1 \\
1 &0 &0
\end{pmatrix} \). Visto che $|M_{1}|=-2$ allora, indipendentemente da qualsiasi valore assuma $h$, avrai sempre :
$rk(A)=rk(A|B)=3 $ . Questo implica che il sistema è sempre compatibile!
in particolare il rango è minore rispetto al numero delle incognite quindi il sistema è indeterminato.
Alt! C'è un errore: il rango è ovviamente minore del numero delle incognite MA questo implica che il sistema ammette infinite soluzioni; più precisamente, il sottospazio delle soluzioni è uno sottospazio affine di dimensione $n-rk(A)$, ovvero $\infty^{n-rk(A)}$. Quindi, per $rk(A)=rk(A|B)=3 $, avrai $\infty^{1}$.
Detto questo, se $h=0$ o $h=1$ o $h=-2$ (dovrebbe esserci anche -2, ho fatto i conti senza controllare mille volte, come mio solito) $\Rightarrow rk(A)=rk(A|B)=2$ e dunque il sottospazio affine sarà $\infty^{2}$.
Come al solito, spero di non aver sbagliato nulla. Se hai altri dubbi, chiedi pure senza timore.
P.S
Più dubbi hai, meglio è (nel senso buono eheheh), cosi mi esercito anch'io per l'esame di geometria ed algebra che ho lunedi
Alllora, ho capito, devo solo rivederlo con calma. quindi grazie mille, davvero!!
Ci sono un altro paio di cose che non mi son chiare riguardo alcuni esercizi, provo di nuovo a farli e se non riesco, ti informo.
ps: In bocca al lupo (anche se non ti serve, perchè sei un evidente genio!)
Apprezzo molto i tuoi complimenti e mi fa piacere esserti stato utile . Grazie a te e spero vada bene. E fidati, non sono per niente un genio, tutt'altro! Soprattutto con le dimostrazioni ahahaha! Alla prossima
. Grazie a te e spero vada bene. E fidati, non sono per niente un genio, tutt'altro! Soprattutto con le dimostrazioni ahahaha! Alla prossima
Rieccomi. L'esercizio è questo
discutere il sistema al variare del parametro k $\{(kx + 2y + z = 1),(2y - z = k),(x - 3y = 1):}$
Secondo i miei calcoli se k=-4/3 rk(A)=2 rk(A|B)=3 quindi il sistema è impossibile.
Se k$!=$-4/3 rk(A)=3 ma non so come continuare
Aspetto delucidazioni
discutere il sistema al variare del parametro k $\{(kx + 2y + z = 1),(2y - z = k),(x - 3y = 1):}$
Secondo i miei calcoli se k=-4/3 rk(A)=2 rk(A|B)=3 quindi il sistema è impossibile.
Se k$!=$-4/3 rk(A)=3 ma non so come continuare
Aspetto delucidazioni
Hai fatto presto . Cos'è che ti blocca? Cerchiamo di centrare il problema
. Cos'è che ti blocca? Cerchiamo di centrare il problema
"Nico769":
Hai fatto presto
Quando considero il caso k≠-4/3 ottengo che rk(A)=3.. A questo punto non so come continuare
Provo a considerare la matrice completa e vedo che se k≠-7/3 rk(A|B)=3 invece se k=-7/3 rk(A|B)=2
Quindi dovrebbe essere per k≠-4/3;-7/3 rk(A)=rk(A|B)=3 il sistema è possibile e determinato
per k≠-4/3 k=-7/3 rk(A)≠rk(A|B) quindi il sistema è impossibile
Ogni volta che faccio un esercizio penso di aver capito, ma poi me ne capita uno leggermente diverso e torno al punto di partenza!
Allora, vediamo se ho capito (non ho svolto l'esecizio a causa di mancanza di tempo):
Caso 1): $k \ne - \frac{4}{3}$ e $k \ne - \frac{7}{3} \Rightarrow rk(A)=rk(A|B)=3 $ dunque il sistema è compatibile;
Caso 2): $k = - \frac{4}{3} \Rightarrow rk(A)=2 \ne rk(A|B)=3 $ sistema non compatibile;
Cosa succede a $rk(A)$ quando $k = - \frac{7}{3}$?
Sostanzialmente, devi verificare sempre cosa succede al rango di tutte e due le matrici per i $k$ che "creano problemi", cioè quelli che mi hai elencato
Caso 1): $k \ne - \frac{4}{3}$ e $k \ne - \frac{7}{3} \Rightarrow rk(A)=rk(A|B)=3 $ dunque il sistema è compatibile;
Caso 2): $k = - \frac{4}{3} \Rightarrow rk(A)=2 \ne rk(A|B)=3 $ sistema non compatibile;
Cosa succede a $rk(A)$ quando $k = - \frac{7}{3}$?
Sostanzialmente, devi verificare sempre cosa succede al rango di tutte e due le matrici per i $k$ che "creano problemi", cioè quelli che mi hai elencato
"Nico769":
Allora, vediamo se ho capito (non ho svolto l'esecizio a causa di mancanza di tempo):
Caso 1): $k \ne - \frac{4}{3}$ e $k \ne - \frac{7}{3} \Rightarrow rk(A)=rk(A|B)=3 $ dunque il sistema è compatibile;
Caso 2): $k = - \frac{4}{3} \Rightarrow rk(A)=2 \ne rk(A|B)=3 $ sistema non compatibile;
Cosa succede a $rk(A)$ quando $k = - \frac{7}{3}$?
Sostanzialmente, devi verificare sempre cosa succede al rango di tutte e due le matrici per i $k$ che "creano problemi", cioè quelli che mi hai elencato
nell'ultimo caso rk(A)=3 mentre rk(A|B)=2 quindi il sistema è impossibile.
capito, speriamo sia la volta buona
grazie ancora! e se ricordo bene oggi avevi un esame, spero sia andato bene!
Bene, credo che abbiamo considerato tutti i possibili casi (forse dovrebbe essercene un 4°, ma non sono sicuro in quanto vorrei prima svolgere tutto l'esercizio) . Spero sia quella buona, in caso contrario, fammi un fischio . Si, ricordi bene e diciamo che poteva andare molto meglio 
... Non son sicuro di essere passato!
Tanti saluti
. Spero sia quella buona, in caso contrario, fammi un fischio . Si, ricordi bene e diciamo che poteva andare molto meglio ... Non son sicuro di essere passato!Tanti saluti
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