Sistema Lineare al variare del parametro h
sono ancora qua a chiedervi una mano...
ho preso un esercizio dal mio libro che mi dice:"DISCUTERE E, QUANDO POSSIBILE,RISOLVERE IL SEGUENTE SISTEMA LINEARE AL VARIARE DEL PARAMETRO REALE h".
questo è il sistema
$\{(x + 2y + z = 1),(hx+y= 1),(x +2hy+z = -1):}$
il libro mi dice di considerare la matrice dei coefficienti cioè A=$[[1,2,1],[h,1,0],[1,2h,1]]$ trovare il determinante $Det(A)=2h(h-1)$ che si annulla per $h=0$ oppure $h=1$.
Se $h!=0$ e $h!=1$ il $Det(A)!=0$ e per il teorema di Cramer il sistema ha una sola soluzione rappresentata dalla terna $(1/(h-1),-1/(h-1),h/(h-1))$.
Però se $h=0$ la matrice completa A'=$[[1,2,1,1],[h,1,0,1],[1,2h,1,-1]]$ ha $r(A')=2$ quindi (immagino per il teorema di Gauss dato che il libro non lo dice) il sistema ammette $oo^1$ soluzioni rappresentate
dalla terna $(-t-1,1,t)$.
Mi chiedo come ha fatto a trovare $(-t-1,1,t)$ ?? ha seguito il metodo dell'eliminazione di Gauss? la terna non dovrebbe essere,risolvendo la matrice completa dopo averla ridotta a scala, così $(-t+1,-1,t)$???
ho preso un esercizio dal mio libro che mi dice:"DISCUTERE E, QUANDO POSSIBILE,RISOLVERE IL SEGUENTE SISTEMA LINEARE AL VARIARE DEL PARAMETRO REALE h".
questo è il sistema
$\{(x + 2y + z = 1),(hx+y= 1),(x +2hy+z = -1):}$
il libro mi dice di considerare la matrice dei coefficienti cioè A=$[[1,2,1],[h,1,0],[1,2h,1]]$ trovare il determinante $Det(A)=2h(h-1)$ che si annulla per $h=0$ oppure $h=1$.
Se $h!=0$ e $h!=1$ il $Det(A)!=0$ e per il teorema di Cramer il sistema ha una sola soluzione rappresentata dalla terna $(1/(h-1),-1/(h-1),h/(h-1))$.
Però se $h=0$ la matrice completa A'=$[[1,2,1,1],[h,1,0,1],[1,2h,1,-1]]$ ha $r(A')=2$ quindi (immagino per il teorema di Gauss dato che il libro non lo dice) il sistema ammette $oo^1$ soluzioni rappresentate
dalla terna $(-t-1,1,t)$.
Mi chiedo come ha fatto a trovare $(-t-1,1,t)$ ?? ha seguito il metodo dell'eliminazione di Gauss? la terna non dovrebbe essere,risolvendo la matrice completa dopo averla ridotta a scala, così $(-t+1,-1,t)$???
Risposte
Con $h=0$ hai $r(A')=2$ e lo vedi con il metodo degli orlati.
Per la seconda cosa, basta porre una variabile $=t$ come parametro e ricavare tutte e 3 le variabili in funzione di $t$.
Paola
Per la seconda cosa, basta porre una variabile $=t$ come parametro e ricavare tutte e 3 le variabili in funzione di $t$.
Paola
"prime_number":
Con $h=0$ hai $r(A')=2$ e lo vedi con il metodo degli orlati.
Per la seconda cosa, basta porre una variabile $=t$ come parametro e ricavare tutte e 3 le variabili in funzione di $t$.
Paola
o sarà che sono fuso ma dall matrice A' con h=0 cioè così $[[1,2,1,1],[0,1,0,1],[1,0,1,-1]]$ e la ho ridotta a scala così $[[1,2,1,1],[0,1,0,1],[0,0,0,0]]$ e quindi risolvendo il sistema $\{(x + 2y + z + 1=0),(y+ 1=0),(z=t):}$ trovo che $\{(x =1-t ),(y= -1),(z = t):}$ almeno io risolverei così...ditemi se sbaglio
Metti i termini noti dalla parte sbagliata.
La matrice è ridotta bene ma il sistema che ottieni è
$\{(x+2y+z=1),(y=1):}\to \{(x+2+z=1),(y=1):}\to \{(x+z=-1),(y=1):}\to \{(x=1-t),(y=1),(z=t):}$
Ricorda che l'ultima colonna della matrice completa $A'$ indica i termini noti, considerati a destra dell'uguale.
La matrice completa $((a_{11},a_{12},...,a_{1n},b_1),(a_{21},a_{22},...,a_{2n},b_2),(...,...,...,...,...),(a_{n1},a_{n2},...,a_{n n},b_n))$
viene ricavata dal sistema nella forma
$\{(a_{11}x_1 +a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1),(...),(a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+...+a_{n n}x_n=b_n):}$
come vedi i termini noti sono a destra.
Paola
La matrice è ridotta bene ma il sistema che ottieni è
$\{(x+2y+z=1),(y=1):}\to \{(x+2+z=1),(y=1):}\to \{(x+z=-1),(y=1):}\to \{(x=1-t),(y=1),(z=t):}$
Ricorda che l'ultima colonna della matrice completa $A'$ indica i termini noti, considerati a destra dell'uguale.
La matrice completa $((a_{11},a_{12},...,a_{1n},b_1),(a_{21},a_{22},...,a_{2n},b_2),(...,...,...,...,...),(a_{n1},a_{n2},...,a_{n n},b_n))$
viene ricavata dal sistema nella forma
$\{(a_{11}x_1 +a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1),(...),(a_{n1}x_1 +a_{n2}x_2+...+a_{n n}x_n=b_n):}$
come vedi i termini noti sono a destra.
Paola
hai ragione grazie mille mi sono dimenticato di quel fatto
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