Sistema lineare a più equazioni

[jestripa-votailprof]

ciao a tutti!
mi trovo a risolvere un sitema lineare a 7 equazioni in 7 incognite....
il sistema ammette soluzioni e il problema è come determinarle!
provare con la sostituzione mi sembra una follia,mi chiedevo se c'è un metodo meno delirante per arrivare a d una soluzione!
avevo pensato di sottrarre tra loro un pò di equazioni,ma dato che sono un pò arrugginita mi chiedevo come devo comportarmi davanti a delle equazioni le cui incognite sono le stesse meno che una.
spero di essere stata chiara se così non fosse,proviamo con la pratica:

$235.3 u_1+35.3 v_1-35.3 u_3-35.3 v_3-100u_4=0$
$35.3 u_1+135.3v_1-100 v_2-35.3u_3-35.3 v_3=F$
$35.3 u_2+35.3 v_2-100u_3=3F$
$-100v_1+35.3u_2+135.3 v_2=0$
$-35.3u_1-35.3v_1-100u_2+135.3u_3+35.3v_3=0$
$-35.3u_1-35.3v_1+35.3u_3+135.3v_3=0$
$-100u_3+100u_4=0$

nb:si possono sottrarre la quinta con la sesta?come?

queste equazioni provengono da una matrice 7x7 (ordinata cosi:$u_1,v_1,u_2,v_2,u_3,v_3,u_4$)quindi potrei anche operare con cramer,voi che dite?qual'è il metodo più intelligente?

[adaBTTLS1]

ti posso dire che Cramer è il peggiore... meglio sostituzione... però sarebbe forse opportuno Gauss o un misto: dall'ultima hai direttamente $u_3=u_4$, meglio di così per passare a 6 incognite con la sostituzione...!
a occhio proverei a sommare seconda e sesta... (o quinta...)
... o come dicevi tu si potrebbe sottrarre "termine a termine, membro a membro" la quinta con la sesta...
o anche esplicitare la quarta...

non puoi chiederci di fare i calcoli...

ti posso dire che in questi casi il metodo che io chiamo di Gauss (o del pivot) è il più opportuno.

ciao.

[Megan00b]

Quoto e cerco di aggiungere qualcosa.
Innanzitutto riduciti a 6 incognite e 6 equazione come già detto.
Chiamo $a_(ij)$ il coefficiente della j-esima incognita nella i-esima equazione così ci capiamo.
Primo passo:
Sostituisci alla i-esima equazione (per i=2,3,4,5,6-cioè salti la prima) se stessa meno la prima equazione moltiplicata per $a_(i1)/a_(11)$.
Secondo passo:
Sostituisci alla i-esima equazione (per i=1,3,4,5,6-cioè salti la seconda) se stessa meno la seconda equazione moltiplicata per $a_(i1)/a_(11)$.
E così il terzo,quarto,quinto e sesto passo.
Ottieni un sistema diagonale di semplicissima soluzione.
Dovrebbe chiamarsi metodo di Gauss-Jordan se non ricordo male. Cmq a parte il nome l'idea è che fai le sottrazioni di equazioni che dicevi ma in maniera controllata.

[Lord K]

In realtà Cramer è il migliore se si una una calcolatrice programmabile oppure un piccolo algoritmo, altrimenti il metodo citato di Gauss Jordan è ottimo, anche se in ogni caso porta via pagine di conti e conseguentemente la possibilità di fare errori!

[adaBTTLS1]

@ Lord K
il mio prof di analisi numerica, nel lontano 1986/1987 ci disse che sicuramente non saremmo vissuti abbastanza per vedere la soluzione di un sistema lineare $20times20$ se avessimo utilizzato un computer di allora con il metodo di Cramer.
questo è un sistema notevolmente più semplice, ma la teoria, basata sul calcolo delle operazioni da svolgere, è applicabile anche qui.
non so quanto ora le cose siano migliorate... ciao.

[Lord K]

Beh, il tuo porfessore di analisi numerica allora poco sa programmare un pc !!! A parte gli scherzi, se si segue il metodo di calcolo del determinante mediante il metodo delle matrici minori e scegliendo opportunamente le colonne sulle quali svilupparlo allora il tempo è decisamente breve. Soprattutto in questo caso

Hai ragionissima che non sia possibile, in generale ed in tempi ragionevoli, la risoluzione del determinante di una matrice 20x20 se la matrice è sufficientemente complessa e che conduca a molti conti.