Sistema lineare

[Fini500]

l'esercizio mi dice sistema lineare nelle incognite x,y,z appartenenti ad R al variare di k discutere la risolubilità e le eventuali soluzioni:
$ { ( x+y+z=3k ),( 4y+6x=0 ),( -ky+2z=-10 ),( 2x+y+z=-3k ):} $
La matrice incompleta mi esce una 4x3 percio non posso trovare il determinante..Faccio il determinante della matrice completa:
$ ( ( 1 , 0 , 1 , 3k ),( 6 , 4 , 0 , 0 ),( 0 , -k , 2 , -10 ),( 2 , 1 , 1 , -3k ) ) $
uso Laplace sviluppando per la seconda riga, per ridurla a due matrici 3x3 (in cui uso Sarrus):
$ 6*Det( ( 0 , 1 , 3k ),( -k , 2 , -10 ),( 1 , 1 , -3k ) ) $ => $ (0-10-3k^2)-(6k+3k^2+0)=>6(-6k^2-6k-10) $ => $ -36k^2-36k-60 $
e l'altra matrice:
$ -4*Det( ( 1 , 1 , 3k ),( 0 , 2 , -10 ),( 2 , 1 , -3k ) ) $ => $ (-6k-20+0)-(12k+0-10)=>-4(-18k-10)=>72k+40 $
Quindi il determinante tot è:
$ -36k^2-36k-60+72k+40=>-36k^2+36k-20=>-18k^2+18k-10 $
Se ricavo la k mi viene:
$ k=(-18pm sqrt(-396))/-36 $
Cioè mi viene una radice quadrata di un numero negativo..Cosa devo fare?
Grazie mille

[^Tipper^1]

Riducila a scala

$((1,0,1,3a),(0,2,-3,-9a),(0,-a,2,-10),(0,1,-1,-9a))-> ((1,0,1,3a),(0,2,-3,-9a),(0,0,3,-9a-20),(0,0,-1,9a))->((1,0,1,3a),(0,2,-3,-9a),(0,0,3,-9a-20),(0,0,0,9a-10))$

[Fini500]

Mi sa che ho capito l'errore...mi sono scordato un 1 nella prima riga...Adesso mi torna:
$ K=pm sqrt(10/9) $
quindi per K diverso da $ pm sqrt(10/9) $ il sistema ha infinite soluzioni perchè car(A)=car(A,B), invece per $ k=pm sqrt(10/9) $ sostituisco alla matrice?

[^Tipper^1]

Perché radice?

[Fini500]

Mi viene $ -36k^2-72k $ il primo determinante, e il secondo $ 72k+40 $ perciò
$ -36k^2-72k+72k+40=>-36k^2+40=>-9k^2+10=>k^2=10/9=>k=pm sqrt(10/9) $

[^Tipper^1]

Avrò sbagliato a fare i conti allora.