Sistema lineare
Un altro problema......
-x-6y+z=1
x+y/2+2z=2
2x+6y+z=1
La soluzione è (0,0,1)
Per risolvere questo sistema devo necessariamente usare gauss o esiste un metodo più immediato?
-x-6y+z=1
x+y/2+2z=2
2x+6y+z=1
La soluzione è (0,0,1)
Per risolvere questo sistema devo necessariamente usare gauss o esiste un metodo più immediato?
Risposte
"marta85":
Un altro problema......
-x-6y+z=1
x+y/2+2z=2
2x+6y+z=1
La soluzione è (0,0,1)
Per risolvere questo sistema devo necessariamente usare gauss o esiste un metodo più immediato?
più immediato di gauss non ne conosco..
potresti sempre usare il metodo di sostituzione...
ciao
come funziona il metodo di sostituzione? 
"marta85":
Un altro problema......
-x-6y+z=1
x+y/2+2z=2
2x+6y+z=1
La soluzione è (0,0,1)
Per risolvere questo sistema devo necessariamente usare gauss o esiste un metodo più immediato?
Certo!
Se lo scrivi in forma matriciale trovi che la terza colonna della matrice è uguale al vettore dei termini noti.
"marta85":
come funziona il metodo di sostituzione?
trovi una variabile in u'equazione e la sostituisci nelle altre 2, a questo punto t trovi con un sistema in 2 eq e 2 incognite...
P.s. io non trascurerei il suggerimento di franced...
ciao
Il fatto che la colonna dei temini noti sia uguale alla terza non significa che esiste una sola soluzione, ma non mi dice a quanto sia uguale la soluzione......
"marta85":
Il fatto che la colonna dei temini noti sia uguale alla terza non significa che esiste una sola soluzione, ma non mi dice a quanto sia uguale la soluzione......
sì, io dico che il vettore $(0,....,0,1,0,...,0)$
con $1$ al k-esimo posto risolve il sistema lineare quando il
vettore dei termini noti è uguale alla k-esima colonna.
Nel tuo caso la terza colonna è identica al vettore dei termini
noti, quindi $(0,0,1)$ è soluzione del sistema.
Non so se mi sono spiegato..
Sei stato chiaro.....tranne che non ho capito come hai scritto il vettore all'inizio......
"marta85":
Sei stato chiaro.....tranne che non ho capito come hai scritto il vettore all'inizio......
Con quella notazione voglio dire che ci sono tutti zeri tranne che nella posizione $k$.
"marta85":
come funziona il metodo di sostituzione?
ti consiglio di imparare tale metodo in quanto e' un metodo abbastanza generale e conosciuto , poiche' elementare, e si da' quasi per scontato che chiunque studia matematica lo sappia.
Ma scusate, preparandomi a un' ennesima figura di merda, non si potrebbe procedere col metodo delle eliminazione delle incognite, moltiplicando entrambi i membri della prima equazione per 2 e sommarle membro a membro , poi sommare membro a membro la prima e la seconda in modo da ottenere un sistema di due equazioni a due incognite, senza la x, e poi procedere analogamente?? In questo modo mi ha dato
"pippo93":
Ma scusate, preparandomi a un' ennesima figura di merda, non si potrebbe procedere col metodo delle eliminazione delle incognite, moltiplicando entrambi i membri della prima equazione per 2 e sommarle membro a membro , poi sommare membro a membro la prima e la seconda in modo da ottenere un sistema di due equazioni a due incognite, senza la x, e poi procedere analogamente?? In questo modo mi ha dato
Questo che dici, è il così detto emtodo di Gauss...
ciao
"Domè89":
[quote="pippo93"]Ma scusate, preparandomi a un' ennesima figura di merda, non si potrebbe procedere col metodo delle eliminazione delle incognite, moltiplicando entrambi i membri della prima equazione per 2 e sommarle membro a membro , poi sommare membro a membro la prima e la seconda in modo da ottenere un sistema di due equazioni a due incognite, senza la x, e poi procedere analogamente?? In questo modo mi ha dato
Questo che dici, è il così detto emtodo di Gauss...
ciao[/quote]
ah, non lo sapevo
anche perchè guardando un poì' su internet ho trovato questo : http://progettomatematica.dm.unibo.it/A ... /gauss.htm , posso chiedervi come mai viene presentato in questo modo ? A scuola mi è stato insegnato in maniera più semplice. Si tratta forse di una spiegazione più formale?
non è una spiegazione più formale, in pratica stiamo dicendo la stessa cosa... 
la differenza sta nel fatto che nel sito da te indicato, si fa uso di matrici, (dei coefficienti, dei termini noti e delle incognite)...
Il metodo di gaus in questo modo, cosiste nel ridurre la matrice dei coefficienti a scala e poi usare il metodo della sostituzione all'indietro...
ciao
la differenza sta nel fatto che nel sito da te indicato, si fa uso di matrici, (dei coefficienti, dei termini noti e delle incognite)...
Il metodo di gaus in questo modo, cosiste nel ridurre la matrice dei coefficienti a scala e poi usare il metodo della sostituzione all'indietro...
ciao
"Domè89":
non è una spiegazione più formale, in pratica stiamo dicendo la stessa cosa...
la differenza sta nel fatto che nel sito da te indicato, si fa uso di matrici, (dei coefficienti, dei termini noti e delle incognite)...
Il metodo di gaus in questo modo, cosiste nel ridurre la matrice dei coefficienti a scala e poi usare il metodo della sostituzione all'indietro...
ciao
Ciao, vorrei chiedervi una cosa: qualcuno potrebbe spiegarmi in dettaglio questa faccenda, ovvero il legame tra matrici e sistemi, considerando che sono in 1^liceo e so a malapena che cos'è una matrice ?
Grazie
ok, vediamo cosa riesco a fare...
Considera un sitema di $k$ incognite ed $k$ equazioni, ${(a_11x_1+a_12x_2+...+a_1kx_k=b_1),(... ... ... ...),(a_j1x_1+a_j2x_2+...+a_jkx_k=b_j),(... ... ... ...),(a_k1x_1+a_n2x_2+...+a_kkx_k=b_k):}
adesso a qeusto sistema, puoi associare tre matrici una (che chiamiamo $A$) dei coefficienti delle inncognite, per cui $A=[(a_11,a_12,...,a_1k),(...,...,...,...),(a_j1,a_j2,...,a_jk),(...,...,...,...),(a_k1,a_k2,...,a_kk)]$ una amtrice $b$ dei termini noti $b=[(b_1), (...),(b_j),(...),(b_k)]$ ed una delle incognite $X=[(x_1),(...),(x_j),(...),(x_k)]$...
per cui adesso il tuo sitema lo puoi scirivere sotto forma matriciale come $Ax=b$...
Attraverso 3 operazioni lementari: i) scambiando due righe; ii) moltiplicando una riga per un numero diverso da zero; iii) sommando una riga ad un'altra
risuci la matrice $A$ a scala (P.S. tutte le operazione che svolgli su $A$ le devi fare anche su $b$)...
Adesso ti troverai nella forma $[(a_(11),a_(12),...,a_(1k)),(...,...,...,...),(0...,a_(jj),...,a_(jk)),(...,...,...,...),(0,...,0,a_(kk))][(x_1),(...),(x_j),(...),(x_k)]=[(b'_1), (...),(b'_j),(...),(b'_k)]$ per cui dall'ultima puoi facilmente ricavare che $x_k=b_k/a_(kk)$ una volta trovata, la vai a sostituire nella riga di sopra e ti calcolerai $x_(k-1)$ e così via...
se non sono stato chiaro, chiedi pure oppure dai un'occhiata qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_di_Gauss
ciao
Considera un sitema di $k$ incognite ed $k$ equazioni, ${(a_11x_1+a_12x_2+...+a_1kx_k=b_1),(... ... ... ...),(a_j1x_1+a_j2x_2+...+a_jkx_k=b_j),(... ... ... ...),(a_k1x_1+a_n2x_2+...+a_kkx_k=b_k):}
adesso a qeusto sistema, puoi associare tre matrici una (che chiamiamo $A$) dei coefficienti delle inncognite, per cui $A=[(a_11,a_12,...,a_1k),(...,...,...,...),(a_j1,a_j2,...,a_jk),(...,...,...,...),(a_k1,a_k2,...,a_kk)]$ una amtrice $b$ dei termini noti $b=[(b_1), (...),(b_j),(...),(b_k)]$ ed una delle incognite $X=[(x_1),(...),(x_j),(...),(x_k)]$...
per cui adesso il tuo sitema lo puoi scirivere sotto forma matriciale come $Ax=b$...
Attraverso 3 operazioni lementari: i) scambiando due righe; ii) moltiplicando una riga per un numero diverso da zero; iii) sommando una riga ad un'altra
risuci la matrice $A$ a scala (P.S. tutte le operazione che svolgli su $A$ le devi fare anche su $b$)...
Adesso ti troverai nella forma $[(a_(11),a_(12),...,a_(1k)),(...,...,...,...),(0...,a_(jj),...,a_(jk)),(...,...,...,...),(0,...,0,a_(kk))][(x_1),(...),(x_j),(...),(x_k)]=[(b'_1), (...),(b'_j),(...),(b'_k)]$ per cui dall'ultima puoi facilmente ricavare che $x_k=b_k/a_(kk)$ una volta trovata, la vai a sostituire nella riga di sopra e ti calcolerai $x_(k-1)$ e così via...
se non sono stato chiaro, chiedi pure oppure dai un'occhiata qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_di_Gauss
ciao
vediamo se ho capito, provo a svolgere un semplice esercizio:
$\{x+y=2),(-x+2y= -17):}$ dunque, stando a quello che ho letto potrei trasformarlo in:
$[[1,1],[-1,2]]*[[x],[y]]=[[2],[-17]]$ quindi, sommo le righe e ottengo: $[[1,1],[0, 3]]*[[x],[y]]=[[2],[-15]]$ e quindi $y= -5$.Giusto? E Poi?
Comunque, non ho capito perchè sia lecito fare quelle operazioni sulle matrici. Forse perchè rappresentano equazioni e quindi dato che è lecito fare queste operazioni sulle equazioni dev'essere lecito farle anche su questo genere di matrici??
$\{x+y=2),(-x+2y= -17):}$ dunque, stando a quello che ho letto potrei trasformarlo in:
$[[1,1],[-1,2]]*[[x],[y]]=[[2],[-17]]$ quindi, sommo le righe e ottengo: $[[1,1],[0, 3]]*[[x],[y]]=[[2],[-15]]$ e quindi $y= -5$.Giusto? E Poi?
Comunque, non ho capito perchè sia lecito fare quelle operazioni sulle matrici. Forse perchè rappresentano equazioni e quindi dato che è lecito fare queste operazioni sulle equazioni dev'essere lecito farle anche su questo genere di matrici??
Sì, perchè facendo quelle operazioni sulla matrice ottieni un sistema equivalente, ovvero con lo stesso insieme di soluzioni.
Paola
Paola
adesso che hai trovato la $y$, basta andarla a sostiture nell'equazione sopra, che nel tuo caso sarebbe $x+y=2$
ciao
ciao
"Domè89":
adesso che hai trovato la $y$, basta andarla a sostiture nell'equazione sopra, che nel tuo caso sarebbe $x+y=2$
ciao
ho capito. ma se avessi voluto continuare sulla matrice?
"pippo93":
[quote="Domè89"]adesso che hai trovato la $y$, basta andarla a sostiture nell'equazione sopra, che nel tuo caso sarebbe $x+y=2$
ciao
ho capito. ma se avessi voluto continuare sulla matrice?[/quote]
In pratica ho continuato sulla matrice (che mi sia venuta uguale a quella di partenza è solo un caso), ho moltiplicato la prima riga di $A$ per la prima colonna di $X$ che mi deve dare $b_11$...
ciao
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