Sistema lineare 4 equazioni in 3 incognite
Buongiorno a tutti.
Vorrei una mano con il seguente esercizio, per capire se ho ragionato in modo corretto oppure no.
Discutere, al variare del parametro k, il seguente sistema lineare di 4 equazioni in 3 incognite, determinandone le soluzione nei casi in cui è compatibile.
$ { ( a-4b+(2k-1)c=2k-1 ),( a+b-c=1 ),( 2a-3b+2c=0 ),( 3a-2b+(2k-1)c=2k-1 ):} $
$ A=( ( 1 , -4 , 2k-1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , -3 , 2 ),( 3 , -2 , 2k-1 ) ) $
Allora, per prima cosa devo capire quando è compatibile. La matrice incompleta A associata ha, al più, rango uguale a 3, dunque, per qualsiasi valore di k, il sistema è non normale. Per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema risulta compatibile solo se rg(A) = rg(A'), dove A' è la matrice completa. Quindi:
$ A'=( ( 1 , -4 , 2k-1 , 2k-1 ),( 1 , 1 , -1 , 1 ),( 2 , -3 , 2 , 0 ),( 3 , -2 , 2k-1 , 2k-1 ) ) $
Calcolo il determinante secondo la terza riga e trovo, come risultato, $ 5k-6 $
Quindi per $ k!= 6/5 $ il determinante di A' è diverso da 0 e $ rg(A')=4!=rg(A) $. Il sistema risulta incompatibile e non ammette soluzioni. Per $ k= 6/5 $, invece, il determinante di A' è uguale a 0, dunque il rango è sicuramente minore di 4. Allora calcolo il determinante di un qualunque minore 3 x 3 e lo impongo diverso da 0 così da soddisfare la condizione $ rg(A')=3=rg(A) $ per cui il sistema risulta compatibile.
$ | ( 1 , -4 , 2k-1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , -3 , 2 ) | =-4+10 $
Quindi per $ k!=10 $ il sistema è compatibile. In particolare, poiché il rango è uguale al numero delle incognite, il sistema ammette una sola soluzione che posso ricavare con la Regola di Cramer.
Domanda: a questo punto, devo cercare anche per quale valore di k il rango di A è minore del numero di incognite così da verificare il caso in cui il sistema ammetta infinite soluzioni?
Grazie a tutti, spero di essermi espressa bene!
Vorrei una mano con il seguente esercizio, per capire se ho ragionato in modo corretto oppure no.
Discutere, al variare del parametro k, il seguente sistema lineare di 4 equazioni in 3 incognite, determinandone le soluzione nei casi in cui è compatibile.
$ { ( a-4b+(2k-1)c=2k-1 ),( a+b-c=1 ),( 2a-3b+2c=0 ),( 3a-2b+(2k-1)c=2k-1 ):} $
$ A=( ( 1 , -4 , 2k-1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , -3 , 2 ),( 3 , -2 , 2k-1 ) ) $
Allora, per prima cosa devo capire quando è compatibile. La matrice incompleta A associata ha, al più, rango uguale a 3, dunque, per qualsiasi valore di k, il sistema è non normale. Per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema risulta compatibile solo se rg(A) = rg(A'), dove A' è la matrice completa. Quindi:
$ A'=( ( 1 , -4 , 2k-1 , 2k-1 ),( 1 , 1 , -1 , 1 ),( 2 , -3 , 2 , 0 ),( 3 , -2 , 2k-1 , 2k-1 ) ) $
Calcolo il determinante secondo la terza riga e trovo, come risultato, $ 5k-6 $
Quindi per $ k!= 6/5 $ il determinante di A' è diverso da 0 e $ rg(A')=4!=rg(A) $. Il sistema risulta incompatibile e non ammette soluzioni. Per $ k= 6/5 $, invece, il determinante di A' è uguale a 0, dunque il rango è sicuramente minore di 4. Allora calcolo il determinante di un qualunque minore 3 x 3 e lo impongo diverso da 0 così da soddisfare la condizione $ rg(A')=3=rg(A) $ per cui il sistema risulta compatibile.
$ | ( 1 , -4 , 2k-1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , -3 , 2 ) | =-4+10 $
Quindi per $ k!=10 $ il sistema è compatibile. In particolare, poiché il rango è uguale al numero delle incognite, il sistema ammette una sola soluzione che posso ricavare con la Regola di Cramer.
Domanda: a questo punto, devo cercare anche per quale valore di k il rango di A è minore del numero di incognite così da verificare il caso in cui il sistema ammetta infinite soluzioni?
Grazie a tutti, spero di essermi espressa bene!
Risposte
Ciao,
dando un'occhiata il tuo ragionamento è corretto, cioè usare il metodo di R.Capelli per capire quando il sistema è possibile, impossibile o indeterminato.
L'unico neo è questo.
Per calcolarti il ranfo della matrice dovresti prima cercare di ridurre per colonne la matrice che hai al fine di far diventare qualche riga con fattori tutti uguali a 0 eccetto per uno che dipende da un preciso valore di k.
Così poi fai le varie distinzioni a seconda del valore del k.
Chiaro?
dando un'occhiata il tuo ragionamento è corretto, cioè usare il metodo di R.Capelli per capire quando il sistema è possibile, impossibile o indeterminato.
L'unico neo è questo.
Per calcolarti il ranfo della matrice dovresti prima cercare di ridurre per colonne la matrice che hai al fine di far diventare qualche riga con fattori tutti uguali a 0 eccetto per uno che dipende da un preciso valore di k.
Così poi fai le varie distinzioni a seconda del valore del k.
Chiaro?
Si, credo di aver capito. In pratica dovrei avere una situazione del genere?
$ ( ( , , ),( , , ),( , , ),( 0 , 0 , k ) ) $
Così, al variare di k , cambia il rango. Corretto?
$ ( ( , , ),( , , ),( , , ),( 0 , 0 , k ) ) $
Così, al variare di k , cambia il rango. Corretto?
"ChiaraR.":
Si, credo di aver capito. In pratica dovrei avere una situazione del genere?
$ ( ( , , ),( , , ),( , , ),( 0 , 0 , k ) ) $
Così, al variare di k , cambia il rango. Corretto?
Si, giusto!
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