Sistema lineare, 3 equazioni 4 incognite
Salve a tutti!
Sto trovando delle difficoltà nella risoluzione di questo sistema al variare del parametro k:
2x + y + 2z + w = 0
kx + y + z - 2kw = 0
4x - ky + 4z + 2w = 0
Il primo punto dell'esercizio chiede di scrivere i valori di k per cui il rango della matrice del sistema è massimo.
In questo caso io ho risolto il determinante della matrice dei coefficienti 3x3, portando la variabile z al termine noto. In questo modo dovrei coinvolgere tutti i k della matrice. Una volta risolto questo determinanate dirò che ha rango massimo per i valori diversi dalle radici del determinante??
Il secondo punto mi chiede di scrivere se possibile, per quali k il sistema ammette infinito^2 soluzioni, esplicitando inoltre queste soluzioni.
A me non risulta possibile avere infinito^2 soluzioni. Naturalmente esplicito le soluzioni in funzione di z.
Molto probabilmente sto sbagliando
Voi come lo avreste risolto??Grazie mille in anticipo!! 
Sto trovando delle difficoltà nella risoluzione di questo sistema al variare del parametro k:
2x + y + 2z + w = 0
kx + y + z - 2kw = 0
4x - ky + 4z + 2w = 0
Il primo punto dell'esercizio chiede di scrivere i valori di k per cui il rango della matrice del sistema è massimo.
In questo caso io ho risolto il determinante della matrice dei coefficienti 3x3, portando la variabile z al termine noto. In questo modo dovrei coinvolgere tutti i k della matrice. Una volta risolto questo determinanate dirò che ha rango massimo per i valori diversi dalle radici del determinante??
Il secondo punto mi chiede di scrivere se possibile, per quali k il sistema ammette infinito^2 soluzioni, esplicitando inoltre queste soluzioni.
A me non risulta possibile avere infinito^2 soluzioni. Naturalmente esplicito le soluzioni in funzione di z.
Molto probabilmente sto sbagliando
Voi come lo avreste risolto??Grazie mille in anticipo!!
Risposte
"magic_box":
Voi come lo avreste risolto??
con Rouchè-Capelli
"itpareid":
[quote="magic_box"] Voi come lo avreste risolto??
con Rouchè-Capelli[/quote]
Certo quello lo sapevo
Dettagli della risoluzione e risultati??
"magic_box":
In questo caso io ho risolto il determinante della matrice dei coefficienti 3x3, portando la variabile z al termine noto.
non capisco questo passaggio. io avrei calcolato il rango della matrice dei coefficienti ($3x4$) con il teorema degli orlati
"itpareid":
[quote="magic_box"]
In questo caso io ho risolto il determinante della matrice dei coefficienti 3x3, portando la variabile z al termine noto.
non capisco questo passaggio. io avrei calcolato il rango della matrice dei coefficienti ($3x4$) con il teorema degli orlati[/quote]
Ho proceduto con il metodo di Cramer isolando una variabile!Quindi per quei valori che non annullano il determinante, la matrice avrà rango massimo, cioè 3..Poi per il secondo punto ho proceduto sostituendo i valori di k nella matrice completa e utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss per trovare le soluzioni..Tu come avresti fatto?
quello che ti volevo dire è che secondo me non puoi trattare una variabile come un termine noto, ma sono un po' arrugginito su queste cose e può darsi che abbia ragione te, vediamo se interviene qualcun'altro.
io avrei preso la matrice dei coefficienti
$(( 2 , 1 , 2 , 1 ),( k , 1 , 1 , -2 ),( 4 , -k , 4 , 2 ))$
e calcolato il rango con il teorema degli orlati (si vede subito un minore di ordine $2$) in funzione di $k$
poi calcoli il rango della matrice completa ed applichi Rouchè-Capelli
se ci sono valori di $k$ per cui il rango delle matrici vale $2$ dovresti avere $\infty^(4-2)$ soluzioni
ma non sono sicuro...
io avrei preso la matrice dei coefficienti
$(( 2 , 1 , 2 , 1 ),( k , 1 , 1 , -2 ),( 4 , -k , 4 , 2 ))$
e calcolato il rango con il teorema degli orlati (si vede subito un minore di ordine $2$) in funzione di $k$
poi calcoli il rango della matrice completa ed applichi Rouchè-Capelli
se ci sono valori di $k$ per cui il rango delle matrici vale $2$ dovresti avere $\infty^(4-2)$ soluzioni
ma non sono sicuro...
Ho capito, in questo caso conviene procedere come dici tu! Grazie mille!!
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