Sistema lineare

[Pivot1]

Salve a tutti. Secondo voi quante e quali solo le soluzioni di questo sistema?

x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0
x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4 - x_5 = 0
x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_5 = 0
x_1 + x_2 + 3x_3 + x_5 = 0

Grazie anticipate.

[Camillo]

Il rango della matrice dei coefficienti è : 3 ; quindi ci sono : $00^2$ soluzioni.
La sottomatrice 3x3,di rango 3 è :
$[(2,1,0),(1,2,-1),(3,0,-2)]$ che corrisponde al sistema :

$2x_3 +x_4 =-x_1-x_2$
$x_3+2x_4-x_5 = -x_1-x_2$
$3x_3 -2x_5 = -x_1-x_2 $
Adesso puoi risolverlo con Cramer o sostituzioni o combinazioni lineari delle righee troverai le soluzioni :
$x_3 = x_4 = -(x_1+x_2)/3 ; x_5 = 0 $.

Camillo

[Pivot1]

Camillo io ho fatto così, ma non so se è corretto:

Ho scritto la matrice Ab completa, anche se in questo caso b = {0};

1 1 2 1 0
1 1 1 2 -1
1 1 0 3 -2 = Ab
1 1 3 0 1

e ho applicato l'eliminazione di gauss (c = colonna R = riga) :

C_1 = C_1 - C_2
R_2 = R_2 - R_1
R_3 = R_3 - R_1
R_4 = R_4 - R_1
poi
R_3 = R_3 - R_1

ed ho ottenuto:

1 2 1 0
0 -1 1 -1
0 0 0 -2

cioè il sistema equivalente:

X_1 + 2X_2 + X_3 = 0
-X_2 + X_3 - X_4 = 0
-2X_4 = 0

quindi le soluzioni saranno infinito alla n - m = 4 - 3 = infinito alla 1

risolvendo all'indietro il sistema ho

S = {-3X_2 , X_2 , X_2 , 0}

è corretto?

[Camillo]

Ma le incognite non sono 5 ?

Camillo

[Pivot1]

si, perchè?

[Camillo]

Essendo 5 le incognite e 3 le equazioni avrai : $ oo^2 $ soluzioni , mentre tu hai indicato la soluzione solo per 4 incognite.

Camillo

[Pivot1]

Hai ragione......proverò a rifarlo una sola cosa però:

è possibile compiere, durante la riduzione a gradini, per esempio una sola operazione tra colonne e poi procedere solo operando tra righe....coiè come avevo fatto prima io? Se no perchè?