Sistema lineare
Ciao a tutti ho bisogno di un aiuto con questo sistema lineare. Allora ho $2x+ky+z=5$
$4x+2ky+2z=10$
$4x+2y+2z=2$
ho trovato il il rango e per k diverso da 1 sia nella matrice completa che incompleta è uguale a 2 . Quindi per trovare le soluzioni ho ridotto il sistema a due equazioni cioè le ultime due del sistema. Quindi ho:
$4x+2ky=-2z+10$
$4x+2y=-2z+2$
solo che non riesco a trovare la soluzione. Perché ho sia la variabile k che z. Come posso fare? Vi ringrazio.
$4x+2ky+2z=10$
$4x+2y+2z=2$
ho trovato il il rango e per k diverso da 1 sia nella matrice completa che incompleta è uguale a 2 . Quindi per trovare le soluzioni ho ridotto il sistema a due equazioni cioè le ultime due del sistema. Quindi ho:
$4x+2ky=-2z+10$
$4x+2y=-2z+2$
solo che non riesco a trovare la soluzione. Perché ho sia la variabile k che z. Come posso fare? Vi ringrazio.
Risposte
Non ti dice nulla $infty^(r-n)$ ?
Quando hai un sistema se si ha rango massimo, e la matrice completa e incompleta hanno rango uguale allora esiste ed è unica la soluzione del sistema. (Teorema di Rouchè-Capelli, mi sembra si scrivi così)
Ma nel caso in cui le due matrici hanno rango identico ma diverso dal rango massimo, la soluzione del tuo sistema sarà $infty^(r-n)$ dove r è il rango massimo e n è il rango delle tue matrici. E quindi dovrai scrivere le soluzioni in funzioni di r-n variabili. Dicendoti questo sai continuare?
Quando hai un sistema se si ha rango massimo, e la matrice completa e incompleta hanno rango uguale allora esiste ed è unica la soluzione del sistema. (Teorema di Rouchè-Capelli, mi sembra si scrivi così)
Ma nel caso in cui le due matrici hanno rango identico ma diverso dal rango massimo, la soluzione del tuo sistema sarà $infty^(r-n)$ dove r è il rango massimo e n è il rango delle tue matrici. E quindi dovrai scrivere le soluzioni in funzioni di r-n variabili. Dicendoti questo sai continuare?
Visto che la matrice $A$ associata al sistema è quadrata, il mio cosnsiglio è di imporre $det(A)=0$, trovare per quali $k$ si ha determinante nullo e discutere i vari casi separatamente. Per i valori di $k$ che non annullano il determinante sai già che il sistema è compatibile e ha un'unica soluzione.
Si questo lo avevo capito..quello che non riesco a fare é che quando vado a calcolare la x per esempio, ho sia la variabile z che k. E non so come calcolarlo. Qualcuno mi può far vedere il metodo? Vi ringrazio
Ti ho dato la spiegazione, devi esprimere la soluzione in funzione di una delle variabili. Se nel tuo caso il tuo rango massimo è 3, e quello da te individuato delle matrici completa e incompleta è due, allora hai $ infty^1 $ soluzione. Quindi trovati la x e la y in funzione di z, o y e z in funzione di x, o altra possibilità trova x e z in funzione di y.
Grazie mille. Comunque ho risolto in funzione di z e per esempio la x mi viene z+3 fratto 1-z Va bene?
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