Sistema linare a infinite soluzioni

[Fregior]

Salve,
nei casi di sistemi lineari ad infinite soluzioni si <>
Qualcuno mi potrebbe spiegare perché?

Grazie mille, a presto.

[Fregior]

Qualche idea?

[giuscri]

Potresti postare un esercizio che ti ha lasciato perplesso?

[Fregior]

Ma guarda non ci sono esercizi che mi lasciano perplesso perché li risolvo tutti e mi vengono tutti.
La cosa che mi lascia perplesso è perché se calcolo il rango di una funzione non curandomi di un'equazione poi devo escludere quell'equazione quando vado a trovare le soluzioni.
E' chiaro o devo postare un esercizio (che comunque ripeto, non mi dà problema alcuno).

Grazie.

[giuscri]

Boh. Cosi' non mi viene in mente nessuna situazione. Se vuoi, prova a postare qualcosa, altrimenti attendi l'arrivo di qualcun'altro

[Fregior]

Guarda per farti capire che intendo ti posto il link a un esercizio (spero non venga considerata una violazione del regolamento dal momento che il quesito non è sull'esercizio stricto sensu)
Vedi su questo esercizio:
http://www.hosting.universalsite.org/im ... 9FB69E.jpg
alla fine bisogna calcolare la soluzione per $k=1$ (sorvoliamo che i conti sono errati perché hanno messo la soluzione di un'altro esercizio). Un'assistente mi disse: <>
Perché bisogna tener presente questo? Logicamente non c'è nulla che mi possa impedire di prendere chi voglio come parametro e prendere le equazioni che preferisco, tanto devono essere verificate tutte...

In un'altro esercizio dove magari vi erano 3 incognite e 3 equazioni, le soluzioni erano $\infty^1$ e ci dicevano di non considerare l'equazione (in questo caso una riga e non una colonna) che non avevamo considerato (?) per calcolare il rango di A|b...

Io sono molto scettico su queste affermazioni e ad intuito non mi convincono per niente, quindi speravo che voi mi poteste indicare la logica che c'è dietro.

[giuscri]

Se la domanda e': che c'entra il calcolo del rango con la scelta di quella incognita parametrizzare?, ti rispondo subito: non lo so, e non ho capito cosa abbia fatto il tuo docente.

Pero' provo a darti una qualche risposta sull'argomento, anche se non ti soddisfera'.

La scelta del parametro a me pare piuttosto libera. Nell'esercizio che mi hai passato (ho guardato solo il primo) mi pare abbastanza chiaro (nel senso, chiaro dalle scuole superiori) che la scelta del parametro sia piuttosto libera.

La questione e' che avendo meno informazioni degli ingredienti sei costretto a mettere una delle tre incognite come parametro, di modo che le altre possano essere espresse in funzione di questo.

Per esempio, posso tranquillamente scegliere \(x_2\) come parametro. In tal caso, mi pare che una soluzione a
\[\begin{cases} x + 4y + z = 1 \\ -x + y + 4z = 9 \\ y + z = 2\end{cases}\]
sia l'orrendo
\[\begin{bmatrix} -1 - 3y \\ y \\ 2 - y \end{bmatrix}\]

O se preferisci, puoi essere piu' aderente a quello che probabilmente diceva il tuo assistente. Cioe': sia \(y \equiv x_2 := r \in \mathbb{R}\). Allora avrai \(\infty\) soluzioni al variare di \(r\) generate da
\[\begin{bmatrix} -1 - 3r \\ r \\ 2 - r \end{bmatrix}\]
...per esempio
\[\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\]
e' una soluzione.

[Fregior]

E' quello che dico io...lo capisco perfettamente...non so se perché magari hanno delle batterie di soluzioni e non vogliono farsi due conti in più altrimenti non la capisco proprio queste questione :/