Sistema fondamentale di intorni chiusi in un T3
Sia $X$ uno spazio topologico e sia $x inX$ un punto. Se $X$ è T3, allora $x$ ammette un sistema fondamentale di intorni chiusi.
Sia $U$ un intorno di $x$, allora $EEA$ aperto di $X$ tale che $x inAsubU$, si ha che $X\\A$ è chiuso e non contiene $x$. Siccome $X$ è T3 $EEB,C$ aperti di $X$ tali che $x inB$, $CsupeX\\A$ e $CnnB=∅$. Allora si ha che $UsupAsupeX\\C$ dove $X\\C$ è chiuso e contiene $x$. Prendendo quindi i chiusi di questo tipo ottengo un sistema fondamentale di intorni chiusi di $x$.
Sia $U$ un intorno di $x$, allora $EEA$ aperto di $X$ tale che $x inAsubU$, si ha che $X\\A$ è chiuso e non contiene $x$. Siccome $X$ è T3 $EEB,C$ aperti di $X$ tali che $x inB$, $CsupeX\\A$ e $CnnB=∅$. Allora si ha che $UsupAsupeX\\C$ dove $X\\C$ è chiuso e contiene $x$. Prendendo quindi i chiusi di questo tipo ottengo un sistema fondamentale di intorni chiusi di $x$.
Risposte
Se non si sono incrociati male i miei occhi, direi che va bene!
"j18eos":
Se non si sono incrociati male i miei occhi, direi che va bene!
Grazie!!
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