Sistema equazioni lineari, metodo Gauss-Jordan
Ragazzi, non riesco proprio a capire come risolvere un sistema di equazioni lineari, spiegatemi passo passo come procedere su quest'esercizio d'esempio, non siate troppo complessi nella spiegazione.
3x + 4y - z - 3t = 2
x + y - z - 2t = 0
x - y + z + 4t = 2
x - y - z + t = 2
Spegate passo per passo motivando i risultati. Grazie.
Dimenticavo, applicate il metodo di Gauss-Jordan
3x + 4y - z - 3t = 2
x + y - z - 2t = 0
x - y + z + 4t = 2
x - y - z + t = 2
Spegate passo per passo motivando i risultati. Grazie.
Dimenticavo, applicate il metodo di Gauss-Jordan
Risposte
Ti informo che forum non è un risolutore di esercizi. Mettici la farina del tuo sacco e vedrai che qualcuno controllerà e ti aiuterà a dissolvere i dubbi.
Quel sistema che hai scritto lo puoi riscrivere attraverso l'uso delle matrici nella forma $A*x=b$ dove:
-$A$ è la matrice dei coefficienti di dimensione m x n (m, ossia il numero di righe, corrisponde al numero di equazioni che compongono il tuo sistema; n, il numero di colonne, corrisponde al numero di variabili che formano il tuo sistema.
Nel tuo caso la matrice A sarà: $A=(( 3, 4,-1,-3),( 1, 1,-1,-2),( 1,-1,1, 4),( 1,-1,-1, 1))$
-$x$ è il vettore delle incognite (per vettore s'intende un vettore colonna, ossia una matrice con m righe e una sola colonna) di dimensioni n x 1 (n è il numero di variabili; 1 perché è un vettore).
Nel tuo caso x sarà: $x=((x),(y),(z),(t))$
-$b$ è il vettore dei termini noti di dimensioni m x 1 (m perché ad ogni equazione corrisponde un termine noto; 1 perché è un vettore).
Nel tuo caso b sarà: $b=((2),(0),(2),(2))$
Se provi ad eseguire il prodotto tra $A$ e $x$ ed uguagliarlo con il vettore dei termini noti vedrai che avrai di nuovo il tuo sistema di partenza. Pertanto, fino ad adesso non abbiamo fatto altro che riscrivere il sistema in una forma diversa (più compatta).
Essendo questa "nuova" forma di scrittura equivalente a quella di partenza posso utilizzarla senza commettere un errore.
Il vantaggio di questa forma è che si presta meglio per applicare l'algoritmo di Gauss-Jordan (abbreviato con EG, eliminazione di Gauss).
L'algoritmo EG si basa su tre operazioni elementari che posso eseguire senza che le soluzioni di questo sistema (scritto ora in forma matriciale) vengano alterate. Queste operazioni sono:
1) Se moltiplico una qualsiasi riga della matrice (quindi una qualsiasi equazione del sistema) per uno scalare (per scalare intendo un numero qualsiasi appartenente ai reali o anche ai complessi) le soluzioni del sistema non cambiano.
2) Se scambio due righe della matrice (quindi sarebbe come scambiare di posto due equazioni) le soluzioni del sistema non cambiano.
3) Se sommo ad una qualsiasi riga della matrice (quindi ad una equazione del sistema) un'altra riga della matrice moltiplicata per uno scalare (vedi 1) per il concetto di scalare) le soluzioni del sistema non cambiano. Questa forse è meno immediata da comprendere ma basta prendere un pezzo di carta e provare e ci si renderà conto che effettivamente è vero.
Lo scopo dell'algoritmo è quello di scrivere la matrice $A b$ (che non è A moltiplicata al vettore b, ma A ampliata b, ossia prendo la matrice A e gli aggiungo in fondo a destra la colonna dei termini noti b) in modo tale che sia triangolare superiore (tutti i coefficienti sulla diagonali pari ad 1, quelli sotto pari a 0 e quelli sopra non ci interessano). Per precisazione, la matrice triangolare superiore la puoi ottenere solo partendo da una matrice quadrata e non da una rettangolare. Qualora fosse rettangolare (come nel nostro caso e quindi vedrai dopo cosa intendo) otterrai una matrice in scala di righe (in quanto non ha senso parlare di diagonale per una matrice rettangolare).
Ok, incominciamo con il primo passo dell'algoritmo:
Ora ti verrà da ridere perché mi sono dimenticato di avere un impegno e non ho più tempo per scriverti il resto della risposta. Siccome mi dispiaceva buttare via tutto quello che ho scritto, lo pubblico ugualmente, magari qualche altro utente può partire da dove mi sono fermato io
-$A$ è la matrice dei coefficienti di dimensione m x n (m, ossia il numero di righe, corrisponde al numero di equazioni che compongono il tuo sistema; n, il numero di colonne, corrisponde al numero di variabili che formano il tuo sistema.
Nel tuo caso la matrice A sarà: $A=(( 3, 4,-1,-3),( 1, 1,-1,-2),( 1,-1,1, 4),( 1,-1,-1, 1))$
-$x$ è il vettore delle incognite (per vettore s'intende un vettore colonna, ossia una matrice con m righe e una sola colonna) di dimensioni n x 1 (n è il numero di variabili; 1 perché è un vettore).
Nel tuo caso x sarà: $x=((x),(y),(z),(t))$
-$b$ è il vettore dei termini noti di dimensioni m x 1 (m perché ad ogni equazione corrisponde un termine noto; 1 perché è un vettore).
Nel tuo caso b sarà: $b=((2),(0),(2),(2))$
Se provi ad eseguire il prodotto tra $A$ e $x$ ed uguagliarlo con il vettore dei termini noti vedrai che avrai di nuovo il tuo sistema di partenza. Pertanto, fino ad adesso non abbiamo fatto altro che riscrivere il sistema in una forma diversa (più compatta).
Essendo questa "nuova" forma di scrittura equivalente a quella di partenza posso utilizzarla senza commettere un errore.
Il vantaggio di questa forma è che si presta meglio per applicare l'algoritmo di Gauss-Jordan (abbreviato con EG, eliminazione di Gauss).
L'algoritmo EG si basa su tre operazioni elementari che posso eseguire senza che le soluzioni di questo sistema (scritto ora in forma matriciale) vengano alterate. Queste operazioni sono:
1) Se moltiplico una qualsiasi riga della matrice (quindi una qualsiasi equazione del sistema) per uno scalare (per scalare intendo un numero qualsiasi appartenente ai reali o anche ai complessi) le soluzioni del sistema non cambiano.
2) Se scambio due righe della matrice (quindi sarebbe come scambiare di posto due equazioni) le soluzioni del sistema non cambiano.
3) Se sommo ad una qualsiasi riga della matrice (quindi ad una equazione del sistema) un'altra riga della matrice moltiplicata per uno scalare (vedi 1) per il concetto di scalare) le soluzioni del sistema non cambiano. Questa forse è meno immediata da comprendere ma basta prendere un pezzo di carta e provare e ci si renderà conto che effettivamente è vero.
Lo scopo dell'algoritmo è quello di scrivere la matrice $A b$ (che non è A moltiplicata al vettore b, ma A ampliata b, ossia prendo la matrice A e gli aggiungo in fondo a destra la colonna dei termini noti b) in modo tale che sia triangolare superiore (tutti i coefficienti sulla diagonali pari ad 1, quelli sotto pari a 0 e quelli sopra non ci interessano). Per precisazione, la matrice triangolare superiore la puoi ottenere solo partendo da una matrice quadrata e non da una rettangolare. Qualora fosse rettangolare (come nel nostro caso e quindi vedrai dopo cosa intendo) otterrai una matrice in scala di righe (in quanto non ha senso parlare di diagonale per una matrice rettangolare).
Ok, incominciamo con il primo passo dell'algoritmo:
Ora ti verrà da ridere perché mi sono dimenticato di avere un impegno e non ho più tempo per scriverti il resto della risposta. Siccome mi dispiaceva buttare via tutto quello che ho scritto, lo pubblico ugualmente, magari qualche altro utente può partire da dove mi sono fermato io
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