Sistema dipendente da due parametri.
Salve ragazzi, ho da studiare al variare di $a,b \in RR$. Il seguente sistema.
$x+ ay+bz = 0 $
$ax - y +abz=3 $
$x-by-2z=a+2 $
Prima di tutto cerco di stabilire per quali valori di $a,b$ tale sistema ammette soluzione, a tal fine studio il rango della matrice incompleta : $A=$
\begin{pmatrix}
1 &a &b \\
a& -1 &ab \\
1& -b& -2
\end{pmatrix}
Calcolo $det(A)=(2+b)a^2+b+2$ e faccio le seguenti constatazioni.
Se $b!=-2$ allora $det(A)!=0 => Rg(A) =3$ e inoltre si ha anche che la matrice $A|b$ ha rango 3 avendo $A$ come minore di ordine 3 non nullo. E inoltre poiché $A \in GL(3,RR)$ il sistema è di Cramer e si ha che $EE | (x',y',z' ) \in RR^3$ soluzione del sistema. (soluzione che qui ometto).
Ora è il caso $b=-2$ che mi da problemi , in quanto la matrice incompleta diventa :$A=$
\begin{pmatrix}
1 &a &-2 \\
a& -1 &-2a \\
1& 2& -2
\end{pmatrix}
E si nota subito che il minore $M=$
\begin{vmatrix}
1 & a \\
a & -1
\end{vmatrix}
è non nullo per qualsiasi sia $a$. Dunque se $b=-2 => rg(A)=2$
Ora considero la matrice completa $A|b$
\begin{pmatrix}
1 &a &-2 & 0\\
a& -1 &-2a & 3\\
1& 2& -2 & a+2
\end{pmatrix}
Ed Applico il principio degli orlati ad $M$. Si ha che gli orlati di $M$ sono $|A|=0$ e
$H_1=$
\begin{vmatrix}
1 &a & 0 \\
a& -1 &3 \\
1& 2& a+2
\end{vmatrix} = $-a^3-2a^2+2a-8$ . Ora dovrei stabilire per quali $a$ , $H_1 =0$ Ma non mi sembra molto semplice come questione , visto che sembra che di soluzioni facilmente individuabili non ve ne sono, a meno di non utilizzare strumenti analitici... del tipo , si può considerare $f(x)=-x^3-2x^2+2x-8$.
$f : RR -> RR$ , notare che Per $x->+-\infty => f(x)->+-\infty$ e quindi per il teorema degli zeri $EE x_0 \in RR t.c f(x_0)=0 $ e quindi effettivamente qualche $a$ che annulla il nostro minore esiste.
Detto $\alpha$ tali zeri, si può dire che per $a = \alpha$ $H_1=|A|=0$ e cioè per il principio degli orlati $rg(A|b)=2$. E che quindi per suddetti valori il sistema è compatibile ed ammette $\infty ^ 1$ soluzioni .
Mentre per $a != \alpha$ , $rg(A|b) =3 $ e quindi il sistema è incompatibile.
Secondo voi potrebbe andare così? oppure sto dicendo fregnacce? grazie mille.
$x+ ay+bz = 0 $
$ax - y +abz=3 $
$x-by-2z=a+2 $
Prima di tutto cerco di stabilire per quali valori di $a,b$ tale sistema ammette soluzione, a tal fine studio il rango della matrice incompleta : $A=$
\begin{pmatrix}
1 &a &b \\
a& -1 &ab \\
1& -b& -2
\end{pmatrix}
Calcolo $det(A)=(2+b)a^2+b+2$ e faccio le seguenti constatazioni.
Se $b!=-2$ allora $det(A)!=0 => Rg(A) =3$ e inoltre si ha anche che la matrice $A|b$ ha rango 3 avendo $A$ come minore di ordine 3 non nullo. E inoltre poiché $A \in GL(3,RR)$ il sistema è di Cramer e si ha che $EE | (x',y',z' ) \in RR^3$ soluzione del sistema. (soluzione che qui ometto).
Ora è il caso $b=-2$ che mi da problemi , in quanto la matrice incompleta diventa :$A=$
\begin{pmatrix}
1 &a &-2 \\
a& -1 &-2a \\
1& 2& -2
\end{pmatrix}
E si nota subito che il minore $M=$
\begin{vmatrix}
1 & a \\
a & -1
\end{vmatrix}
è non nullo per qualsiasi sia $a$. Dunque se $b=-2 => rg(A)=2$
Ora considero la matrice completa $A|b$
\begin{pmatrix}
1 &a &-2 & 0\\
a& -1 &-2a & 3\\
1& 2& -2 & a+2
\end{pmatrix}
Ed Applico il principio degli orlati ad $M$. Si ha che gli orlati di $M$ sono $|A|=0$ e
$H_1=$
\begin{vmatrix}
1 &a & 0 \\
a& -1 &3 \\
1& 2& a+2
\end{vmatrix} = $-a^3-2a^2+2a-8$ . Ora dovrei stabilire per quali $a$ , $H_1 =0$ Ma non mi sembra molto semplice come questione , visto che sembra che di soluzioni facilmente individuabili non ve ne sono, a meno di non utilizzare strumenti analitici... del tipo , si può considerare $f(x)=-x^3-2x^2+2x-8$.
$f : RR -> RR$ , notare che Per $x->+-\infty => f(x)->+-\infty$ e quindi per il teorema degli zeri $EE x_0 \in RR t.c f(x_0)=0 $ e quindi effettivamente qualche $a$ che annulla il nostro minore esiste.
Detto $\alpha$ tali zeri, si può dire che per $a = \alpha$ $H_1=|A|=0$ e cioè per il principio degli orlati $rg(A|b)=2$. E che quindi per suddetti valori il sistema è compatibile ed ammette $\infty ^ 1$ soluzioni .
Mentre per $a != \alpha$ , $rg(A|b) =3 $ e quindi il sistema è incompatibile.
Secondo voi potrebbe andare così? oppure sto dicendo fregnacce? grazie mille.
Risposte
Io sono gaussiano convinto e quindi mi trovo subito la ridotta a scalini:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&a&b\\
0&-1-a^2&0\\
0&0&b+2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -a-2-3[\frac{a+b}{1+a^2}] \end{pmatrix} \)
da qui il sistema si presenta impossibile per \(\displaystyle b=-2\) poi svolgendo l'ultima espressione risulta per b=-2 :
\(\displaystyle -a^3 -2a^2-6a+6 \) le cui radici danno infinite soluzioni (sempre con l'ipotesi che b=-2)
ok tutto torna!
\(\displaystyle \begin{pmatrix}
1&a&b\\
0&-1-a^2&0\\
0&0&b+2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -a-2-3[\frac{a+b}{1+a^2}] \end{pmatrix} \)
da qui il sistema si presenta impossibile per \(\displaystyle b=-2\) poi svolgendo l'ultima espressione risulta per b=-2 :
\(\displaystyle -a^3 -2a^2-6a+6 \) le cui radici danno infinite soluzioni (sempre con l'ipotesi che b=-2)
ok tutto torna!
"Kashaman":
Detto $\alpha$ tali zeri, si può dire che per $a = \alpha$ $H_1=|A|=0$ e cioè per il principio degli orlati $rg(A|b)=2$. E che quindi per suddetti valori il sistema è compatibile ed ammette $\infty ^ 1$ soluzioni .
Mentre per $a != \alpha$ , $rg(A|b) =3 $ e quindi il sistema è incompatibile.
Secondo voi potrebbe andare così? oppure sto dicendo fregnacce? grazie mille.
Confermo i tuoi calcoli, l'unico problema è quell'equazione di $3°$ grado che non fornisce radici razionali. L'unico dubbio è sapere se ci sono $1$ o $3$ radici reali.
Per determinare le soluzioni dell'equazione $-x^3-2x^2+2x-8=0$ si può utilizzare il metodo grafico rappresentando le due curve $y=x^3$ e $y=-2x^2+2x-8=0$ e controllare le intersezioni tra le due curve (la cubica è facile da rappresentare e l'altra è una parabola con concavità verso il basso). Si vede che esiste una solo soluzione e utilizzando il teorema degli zeri si intuisce che tale radice $\alphain(-4,-3)$. Si è così:
se $b=-2$ e $a=\alpha$, allora il sistema lineare ammette $oo^1$ soluzioni
se $b=-2$ e $a!=\alpha$, allora il sistema lineare è impossibile
grazie mille ragazzi
è sempre un piacere 
.
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