Sistema dipendente
Ho problemi con la dimostrazione di questo teorema...
Un sistema $S$ è dipendente se e solo se esiste un vettore del sistema che dipende dai rimanenti.
ho provato a fare una dimostrazione che non mi convince del tutto provo a postarla e vedere se qualcuno mi corregge.
Supponiamo esistano $alpha_i$ non tutti nulli : $0=alpha_1v_1+alpha_2v_2+...+alpha_sv_s$
spostando un vettore a sinistra e ottengo:
$-alpha_1v_1=alpha_2v_2+alpha_3v_3+...+alpha_sv_s$
Divido tutto per $-alpha_1$ e otteniamo:
$v_1=-alpha_2/alpha_1 v_2- alpha_3/alpha_1v_3+...-alpha_s/alpha_1 v_s$
il che è uguale a : supponendo $(alpha_i/alpha_1=beta_i)$
$v_1=beta_2v_2+beta_3v_3+...+beta_sv_s$
Essendo $v!=0$ otteniamo:
$0=-v_1+beta_2v_2+...+beta_sv_s$
Otteniamo dunque un sistema dipendente
può andare???
Un sistema $S$ è dipendente se e solo se esiste un vettore del sistema che dipende dai rimanenti.
ho provato a fare una dimostrazione che non mi convince del tutto provo a postarla e vedere se qualcuno mi corregge.
Supponiamo esistano $alpha_i$ non tutti nulli : $0=alpha_1v_1+alpha_2v_2+...+alpha_sv_s$
spostando un vettore a sinistra e ottengo:
$-alpha_1v_1=alpha_2v_2+alpha_3v_3+...+alpha_sv_s$
Divido tutto per $-alpha_1$ e otteniamo:
$v_1=-alpha_2/alpha_1 v_2- alpha_3/alpha_1v_3+...-alpha_s/alpha_1 v_s$
il che è uguale a : supponendo $(alpha_i/alpha_1=beta_i)$
$v_1=beta_2v_2+beta_3v_3+...+beta_sv_s$
Essendo $v!=0$ otteniamo:
$0=-v_1+beta_2v_2+...+beta_sv_s$
Otteniamo dunque un sistema dipendente
può andare???
Risposte
nessuno proprio???
qualcuno che mi aiuta?????
Sia $S={v_1,...,v_t}$ linearmente dipendente: quindi la combinazione $a_1v_1+a_2v_2+...+a_tv_t=0$ (1) ammette coefficienti non nulli.
Se $v_1=0$ allora la tesi è vera quindi possiamo supporre $v_1!=0$. Inoltre con questa ipotesi almeno uno tra $a_2,...,a_t$ è non nullo altrimenti la (1) si riduce a $a_1v_1=0$ da cui $a_1=0$ e quindi il sistema $S$ non è più linearmente dipendente.
Ora sia $j=max(i|a_i!=0)$: è $j>=2$ (perché $a_1!=0$, se così non fosse se ne trarrebbe $v_1=0$, contro l'ipotesi) e la (1) diventa
$a_1v_1+...+a_jv_j=0$ da cui traiamo
$v_j=-\frac{a_1}{a_j}v_1-...-\frac{a_(j-1)}{a_j}v_(j-1)$
L'altro verso è banale
Se $v_1=0$ allora la tesi è vera quindi possiamo supporre $v_1!=0$. Inoltre con questa ipotesi almeno uno tra $a_2,...,a_t$ è non nullo altrimenti la (1) si riduce a $a_1v_1=0$ da cui $a_1=0$ e quindi il sistema $S$ non è più linearmente dipendente.
Ora sia $j=max(i|a_i!=0)$: è $j>=2$ (perché $a_1!=0$, se così non fosse se ne trarrebbe $v_1=0$, contro l'ipotesi) e la (1) diventa
$a_1v_1+...+a_jv_j=0$ da cui traiamo
$v_j=-\frac{a_1}{a_j}v_1-...-\frac{a_(j-1)}{a_j}v_(j-1)$
L'altro verso è banale
Scusami ho letto precedenti!
Comunque credo vada bene ma meglio prendere al posto di $v_1$ il generico vettore $v_i$
Comunque credo vada bene ma meglio prendere al posto di $v_1$ il generico vettore $v_i$
"Cantor99":
Scusami ho letto precedenti!
Comunque credo vada bene ma meglio prendere al posto di $v_1$ il generico vettore $v_i$
va bene quello che ho scritto??? non ho capito
Va bene, dicevo che per maggior rigore che è meglio scrivere così
$a_iv_i=-a_1v_1-...-a_(i-1)v_(i-1)-a_(i+1)v_(i+1)-...-a_sv_s$
Ps intendevo di aver letto "precedenti" al posto di "restanti"
$a_iv_i=-a_1v_1-...-a_(i-1)v_(i-1)-a_(i+1)v_(i+1)-...-a_sv_s$
Ps intendevo di aver letto "precedenti" al posto di "restanti"
ok grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo