Sistema di generatori s.v.
Volevo qualche chiarimento su tale argomento...
l'idea che mi sono fatto è che un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori che crea lo spazio vettoriale stesso o in altri termini un insieme di vettori le cui combinazioni lineari possibili(infinite)permettono di originare i vari vettori dello spazio vettoriale.
è corretto dire che un sistema di generatori di un certo spazio è una base dello spazio + eventualmente qualche altro vettore(che non gode per forza di particolari proprietà come l'indipendenza lineare rispetto ai vettori costituenti la base)
Se ciò è vero,mi pare che la base per un certo spazio vettoriale sia un particolare sistema di generatori di tale spazio: si tratta del piu piccolo insieme di vettori possibili per quel certo spazio vettoriale in grado di ricreare lo stesso.
Insomma una base di uno spazio vettoriale è il piu piccolo sistema di generatori dello spazio stesso.
Ho poi notato che ad esempio un esercizio(inventato) del tipo:
Stabilire se il seguente insieme di vettori costituisce un sistema di generatori per $ R^3 $:
$ v_1(1,0,0) $
$ v_2(2,0,1) $
$ v_3(0,3,0) $
$ v_4(2,0,0) $
in genere viene risolto calcolando il determinante della matrice che si ottiene disponendo per colonne(o righe)i vettori in questione:
$ | ( 1 , 2 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) | $
Perche questo?
ho cercato di spiegarmelo ricordandomi che il rango di una matrice ti dice il numero di righe/colonne (nel nostro caso le colonne rappresentano i 4 vettori iniziali) tra loro linearmente indipendenti.
Percio affinche un insieme di vettori sia uno spazio di generatori deve esserci al loro interno un sottoinsieme opportuno che costituisce una BASE dello spazio vettoriale considerato.
Nel nostro caso essendo in $ R^3 $ una base di tale spazio è costituita da 3 vettori tra loro linearmente indipendenti:
se percio tra quei 4 ci sono tra loro 3 vettori linearmente indipendenti allora sicuramente è una base e a maggior ragione uno spazio vettoriale....
è corretto come ragionamento?
percio nel caso estremo in cui ho 10 vettori colonna del tipo $ v(x,y,z) $ ma che sono tutti tra loro MULTIPLI l'uno dell'altro allora,nonostante abbia ben 10 vettori, tale insieme di vettori non potrà mai essere un sistema di generatori,perche non è possibile tra tutti questi individuarne un opportuno sottoinsieme di 3 vettori che sono tra loro lineamrente indipendenti...
Sono corrette le mie riflessioni a riguardo di tale argomento?
grazie!
l'idea che mi sono fatto è che un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori che crea lo spazio vettoriale stesso o in altri termini un insieme di vettori le cui combinazioni lineari possibili(infinite)permettono di originare i vari vettori dello spazio vettoriale.
è corretto dire che un sistema di generatori di un certo spazio è una base dello spazio + eventualmente qualche altro vettore(che non gode per forza di particolari proprietà come l'indipendenza lineare rispetto ai vettori costituenti la base)
Se ciò è vero,mi pare che la base per un certo spazio vettoriale sia un particolare sistema di generatori di tale spazio: si tratta del piu piccolo insieme di vettori possibili per quel certo spazio vettoriale in grado di ricreare lo stesso.
Insomma una base di uno spazio vettoriale è il piu piccolo sistema di generatori dello spazio stesso.
Ho poi notato che ad esempio un esercizio(inventato) del tipo:
Stabilire se il seguente insieme di vettori costituisce un sistema di generatori per $ R^3 $:
$ v_1(1,0,0) $
$ v_2(2,0,1) $
$ v_3(0,3,0) $
$ v_4(2,0,0) $
in genere viene risolto calcolando il determinante della matrice che si ottiene disponendo per colonne(o righe)i vettori in questione:
$ | ( 1 , 2 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ) | $
Perche questo?
ho cercato di spiegarmelo ricordandomi che il rango di una matrice ti dice il numero di righe/colonne (nel nostro caso le colonne rappresentano i 4 vettori iniziali) tra loro linearmente indipendenti.
Percio affinche un insieme di vettori sia uno spazio di generatori deve esserci al loro interno un sottoinsieme opportuno che costituisce una BASE dello spazio vettoriale considerato.
Nel nostro caso essendo in $ R^3 $ una base di tale spazio è costituita da 3 vettori tra loro linearmente indipendenti:
se percio tra quei 4 ci sono tra loro 3 vettori linearmente indipendenti allora sicuramente è una base e a maggior ragione uno spazio vettoriale....
è corretto come ragionamento?
percio nel caso estremo in cui ho 10 vettori colonna del tipo $ v(x,y,z) $ ma che sono tutti tra loro MULTIPLI l'uno dell'altro allora,nonostante abbia ben 10 vettori, tale insieme di vettori non potrà mai essere un sistema di generatori,perche non è possibile tra tutti questi individuarne un opportuno sottoinsieme di 3 vettori che sono tra loro lineamrente indipendenti...
Sono corrette le mie riflessioni a riguardo di tale argomento?
grazie!
Risposte
si con i termini insieme,sistema ecc si fa un po' un casotto.
Comunque quando parlavo del determinante facevo riferimento ovviamente (beh non so se sia ovvio in realtà) al determinante del/dei minore/i estraibile dalla matrice.
Per quanto riguarda l'ultimo tue esempio il fatto che ciascuno di quei vettori costituisca una base del sottospazio come puo essere dimostrato in modo pratico?
mi creo la matrice e ne calcolo il rango massimo in modo da trovare il numero di vettori linearmente indipendenti tra loro...
dal momento che sono multipli tra loro il rango "massimo" è 1 giusto?
dunque essendo uno il numero di vettori linearmente indipendenti tra loro mi trovo con una base costituita da UN SOLO vettor tridimensionale ...e ciò significa che è una base di un particolare sottospazio(e di conseguenza tutto l'insieme dei vettori un sistema di generatori del sottospazio) ?
Comunque quando parlavo del determinante facevo riferimento ovviamente (beh non so se sia ovvio in realtà) al determinante del/dei minore/i estraibile dalla matrice.
Per quanto riguarda l'ultimo tue esempio il fatto che ciascuno di quei vettori costituisca una base del sottospazio come puo essere dimostrato in modo pratico?
mi creo la matrice e ne calcolo il rango massimo in modo da trovare il numero di vettori linearmente indipendenti tra loro...
dal momento che sono multipli tra loro il rango "massimo" è 1 giusto?
dunque essendo uno il numero di vettori linearmente indipendenti tra loro mi trovo con una base costituita da UN SOLO vettor tridimensionale ...e ciò significa che è una base di un particolare sottospazio(e di conseguenza tutto l'insieme dei vettori un sistema di generatori del sottospazio) ?
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